Đề bài
Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} = - 4xy.\)
Bài 2. Chứng minh rằng \({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2}\) luôn chia hết cho 9, với mọi giá trị nguyên của n.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = - {x^2} + 6x + 1.\)
Bài 4. Chứng minh rằng nếu \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {ax + by} \right)^2}\) thì \(ay - bx = 0.\)
LG bài 1
Phương pháp giải:
Sử dụng:
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} \)
\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)
\(={x^2} - 2xy + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2} \)
\(= - 4xy\) (đpcm).
LG bài 2
Phương pháp giải:
Sử dụng:
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2} \)
\(= \left( {49{n^2} - 28n + 4} \right) - \left( {4{n^2} - 28n + 49} \right)\)
\( = 49{n^2} - 28n + 4 - 4{n^2} + 28n - 49 \)
\(= 45{n^2} - 45=45(n^2-1).\)
Vì \(45\; \vdots\; 9 \Rightarrow 45({n^2}-1) \;\vdots \;9.\)
Vậy \({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2} \) chia hết cho 9 (với mọi n thuộc \(\mathbb Z\))
)
Nhận xét: Số đã cho còn chia hết cho 45, với mọi n thuộc \(\mathbb Z\).
LG bài 3
Phương pháp giải:
Sử dụng: \(m - {\left( {x - a} \right)^2} \le m\) với mọi \(x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(P = - {x^2} + 6x + 1.\)
\( = - {x^2} + 6x - 9 + 9 + 1 \)
\( = - \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 10\)
\(= 10 - {\left( {x - 3} \right)^2} \le 10,\) vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) , với mọi x.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 10.
Dấu = xảy ra khi \(x – 3 = 0\) hay \(x = 3.\)
LG bài 4
Phương pháp giải:
Sử dụng:
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\(\; = {\left( {ax + by} \right)^2}\)
Hay \({a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2} \)\(\;= {a^2}{x^2} + 2axby + {b^2}{y^2}\)
Hay \({a^2}{y^2} - 2axby + {b^2}{x^2} = 0\)
Hay \({\left( {ay - bx} \right)^2} = 0.\)
Suy ra \(ay - bx = 0\) (đpcm).
dapandethi.vn