Đề bài
Chứng minh rằng:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab;\)
\({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab.\)
Áp dụng:
a) Tính \({\left( {a - b} \right)^2}\), biết \(a + b = 7\) và \(a . b = 12.\)
b) Tính \({\left( {a + b} \right)^2}\), biết \(a - b = 20\) và \(a . b = 3.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để biến đổi vế trái hoặc vế phải của từng đẳng thức, đưa về bằng vế còn lại.
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết
* \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)
Cách 1: Biến đổi vế trái:
\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + 4ab \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr} \)
Vậy \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)
Cách 2: Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{
& {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr
& = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr
& = {a^2} + \left( {4ab - 2ab} \right) + {b^2} \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr
& =(a+b)^2\cr} \)
Vậy \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)
Cách 3:
\(\begin{array}{l}{(a + b)^2} = {(a - b)^2} + 4ab\\ \Leftrightarrow {(a + b)^2} - {(a - b)^2} - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow [a + b - (a - b)].[a + b + (a - b)] - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow 2b.2a - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow 4ab - 4ab = 0\end{array}\)
(Luôn đúng)
Vậy \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)
* \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab\)
Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab \cr
& = {a^2} + \left( {2ab - 4ab} \right) + {b^2} \cr
& = {a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} \cr} \)
Vậy \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab\)
Áp dụng: Tính:
a) Với \(a + b = 7\) và \(a . b = 12\) ta có:
\({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab\)
\(= {7^2} - 4.12 = 49 - 48 = 1\)
b) Với \(a - b = 20\) và \(a . b = 3\) ta có:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \)
\(= {20^2} + 4.3 \)
\(= 400 + 12 = 412\)
dapandethi.vn