Hôm nay Dapandethi.vn xin được chia sẻ với các bạn bộ đề thi chọn HSG Quốc gia THPT 2019 môn Toán. Đây là một trong những bộ đề thi HSG lớp 12 của kỳ thi chọn HSG quốc gia THPT (VMO ngày 1). Kỳ thi được tổ chức vào Chủ Nhật, ngày 13 tháng 01 năm 2019.
Trong đó nội dung bộ đề thi học sinh giỏi gồm 01 trang với 04 bài toán tự luận. Với tổng thời gian làm bài là 180 phút không kể thời gian phát đề. Và ngay sau đây xin mời các bạn cùng tham khảo nội dung bộ đề thi ngay sau đây.
Trích dẫn đề thi chọn HSG Quốc gia THPT 2019 môn Toán
Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn nội tiếp 1. Trên các tia AB, AC, BC, BA ,CA ,CB lần lượt lấy các điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 sao cho AA1 = AA2 = BC, BB1 = BB2 = CA, CC1 = CC2 = AB. Các cặp đường thẳng (B1B2, C1C2), (C1C2, A1A2), (A1A2, B1B2) lần lượt có các giao điểm là A’, B’, C’.
- a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không vượt quá diện tích tam giác ABC.
- b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Các đường thẳng AJ, BJ, CJ lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại R, S, T tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AST, BTR, CRS cùng đi qua một điểm K. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không cần thì IHJK là hình bình hành.
Cho hàm số liên tục f: R → (0;+∞) thỏa mãn lim f(x) = lim f(x) = 0. Chứng minh rằng f(x) đạt giá trị lớn nhất trên R. Chứng minh rằng tôn tại hai dãy (xn), (yn) với xn < yn (n = 1, 2 …) sao cho chúng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn f(x) = f(y) với mọi n.
Xem thêm: Đáp án đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh sở GD&ĐT Quảng Ninh (Bảng B)
