Cho hai điểm \(P, Q\) nằm ngoài đường tròn \((I)\) cố định với \(IP \ne IQ\).
LG a
Vẽ đường tròn \((C)\) bất kì đi qua \(P, Q\). Chứng minh rằng trục đẳng phương của \((C)\) và \((I)\) đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết:
(h.45).
Gọi \((C_1)\) là đường tròn cố định có tâm \(O\) và đi qua \(P, Q.\) Do \(I\) không thuộc đường trung trực của \(PQ\) nên trục đẳng phương \(\Delta \) của \((C_1)\) và \((I)\) không song song với \(PQ\), chúng phải cắt nhau ở \(J\).
Bây giờ giả sử \((C)\) là đường tròn bất kì đi qua \(P\) và \(Q\), ta có \(J\) thuộc trục đẳng phương \(PQ\) của \((C)\) và \((C_1)\) nên \({P_{J/(C)}} = {P_{J/({C_1})}}\).
Lại có \(J\) thuộc trục đẳng phương của \((C_1)\) và \((I)\) nên \({P_{J/({C_1})}} = {P_{J/(I)}}\).
Từ đó ta có \({P_{J/(C)}} = {P_{J/(I)}}\), hay \(J\) thuộc trục đẳng phương của \((C)\) và \((I).\)
LG b
Hãy nêu cách vẽ đường tròn đi qua \(P, Q\) và tiếp xúc với đường tròn \((I)\).
Lời giải chi tiết:
(h.46).
Kẻ tiếp tuyến \(JM\) với \((I)\) (\(M\) là tiếp điểm), ta có \(J{M^2} = {P_{J/(I)}}.\)
Do \({P_{J/(I)}} = \overrightarrow {JP} .\overrightarrow {JQ} \) nên đường tròn \((MPQ)\) tiếp xúc với \(JM\) ở \(M\) và cũng tiếp xúc với \((I)\) ở \(M\). Từ đó suy ra cách dựng. Bài toán có hai nghiệm.
dapandethi.vn