Video hướng dẫn giải
Chứng minh:
LG a.
\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\);
Phương pháp giải:
Áp dụng:
- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.
- Tính chất: \({\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi số thực \(A,B\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1\)
\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1\)
\(={\left( {x - y} \right)^2} + 1 \)
Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x, y\).
Nên \({\left( {x - y} \right)^2} +1\ge 1>0\) với mọi \(x, y\).
Vậy \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\).
LG b.
\(x - {x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\).
Phương pháp giải:
Áp dụng:
- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.
- Tính chất: \({\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi số thực \(A,B\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(x - {x^2} - 1\)
\(= - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
\( = - \left[ {{x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right]\)
\(= - \left[ {{x^2} - 2x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] - \dfrac{3}{4}\)
\( = - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4} \)
Do \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi \(x\) nên \( - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \leqslant 0\) với mọi \(x\).
Suy ra \( - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}\le - \dfrac{3}{4}<0\) với mọi \(x\),
Vậy \(x - {x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\).
dapandethi.vn