Đề bài
Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong bốn ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Xem toàn bộ công việc là \(1\) (công việc)
- Thực hiện một công việc trong \(a\) (ngày) \((a>0)\) thì xong việc.
Suy ra trong một ngày thực hiện được \(\dfrac {1}{a}\) công việc
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước \(1\): Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \(2\): Giải hệ phương trình nói trên (sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ)
Bước \(3\): Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (ngày), thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (ngày).
Điều kiện: \(x > 4; y > 4\)
Trong \(1\) ngày người thứ nhất làm được \(\displaystyle{1 \over x}\) (công việc)
Trong 1 ngày người thứ hai làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)
Vì hai người làm chung trong bốn ngày thì xong việc nên trong 1 ngày cả hai người làm được \(1:4 = \displaystyle{1 \over 4}\) (công việc)
Do đó ta có phương trình: \(\displaystyle{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over 4}\)
Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc, tức là người thứ nhất làm trong \(10\) ngày và người thứ hai làm trong \(1\) ngày thì xong công việc. Khi đó ta có phương trình:
\(\displaystyle{{10} \over x} + {1 \over y} = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over 4}} \cr
\displaystyle{{{10} \over x} + {1 \over y} = 1} \cr} } \right.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\)\((a>0;b>0)\)
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
{10a + b = 1} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{9a = \displaystyle{3 \over 4}} \cr
{a + b =\displaystyle {1 \over 4}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr
{\displaystyle{1 \over {12}} + b = {1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr
{b = \displaystyle{1 \over 6}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {12}}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 12} \cr
{y = 6} \cr} } \right.\)
Ta thấy \(x = 12; y = 6\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy người thứ nhất làm một mình trong \(12\) ngày thì xong công việc, người thứ hai làm một mình trong \(6\) ngày thì xong công việc.
dapandethi.vn