Đề bài
Bài 1. Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi I là trung điểm cạnh BC và E là trung điểm đối xứng với O qua I.
a) Tứ giác OBEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng tỏ E đối xứng với A qua trung điểm J của đoạn OB.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Qua I vẽ \(IM \bot AB\) tại \(IN \bot AC\) tại N.
a) Chứng minh AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh ADCI là hình thoi.
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh \({{DK} \over {DC}} = {1 \over 3}.\)
LG bài 1
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Đểm M đối xứng với N qua A nếu A là trung điểm của MN.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có IB = IC (gt), IO = IE (tính chất đối xứng)
\( \Rightarrow OBEC\) là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {BOC} = {90^ \circ }\) (tính chất hai đường chéo hình thoi).
Do đó OBEC là hình chữ nhật.
b) Ta có OC = OA (tính chất đường chéo hình thoi)
Mà OC = BE và \(OC\parallel BE\left( {cmt} \right)\) nên OA = BE và \(OA\parallel BE.\) Do đó ABEO là hình bình hành có J là trung điểm của OB nên đường chéo thứ hai AI phải qua J và JA = JE.
Chứng tỏ E đối xứng với A qua trung điểm J của đoạn OB.
LG bài 2
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Lời giải chi tiết:
a) Tứ giác ANIM là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b) I là trung diểm của BC nên AI là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC.
\( \Rightarrow AI = IC = {{BC} \over 2}.\)
Do đó \(\Delta AIC\) cân có IN là đường cao nên đồng thời là trung tuyến hay NA = NC, lại có NI = ND (tính chất đối xứng) \(\Rightarrow ADCI\) là hình thoi.
c) Kẻ qua I đường thẳng song song với BK cắt CD tại E. Ta có IE là đường trung bình của \(\Delta BKC\)
\( \Rightarrow E\) là trung điểm của CK hay EK = EC (1)
Mặt khác N là trung điểm của ID và \(NK\parallel IE\left( {IE\parallel BK} \right)\) nên NK là đường trung bình của \(\Delta DIE\)
\( \Rightarrow K\) là trung điểm của DE hay EK = DK (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {{DK} \over {DC}} = {1 \over 3}.\)
dapandethi.vn