Đề bài
Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C bất kì, kẻ các đường vuông góc CD, CE, CF lần lượt xuống các đường thẳng AB, BP, PA. Chứng minh rằng : \(\widehat {DCF} = \widehat {DCE}\) và \(\widehat {DFC} = \widehat {CDE}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Tứ giác nội tiếp
+Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung
Lời giải chi tiết
Ta có E và D nằm trên đường tròn đường kính BC, F và D nằm trên đường tròn đường kính AC.
Do đó \(\widehat {DCF} + \widehat {PAB} = \widehat {DCE} + \widehat {PBA} = 2v\)
Trong đó \(\widehat {PAB} = \widehat {PBA}\) ( Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và dây cùng chắn cung nhỏ AB).
Vậy \(\widehat {DCF} = \widehat {DCE}\).
Trong đường tròn (O), ta có : \(\widehat {CBE} = \widehat {CAB}\) (góc giữa tiếp tuyến và một dây và góc nội tiếp cùng chắn cung CB).
Trong đường tròn đường kính BC, ta có : \(\widehat {CBE} = \widehat {CDE}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
Trong đường tròn đường kính CA, ta có : \(\widehat {CAB} = \widehat {DFC}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung CD).
Vậy \(\widehat {DFC} = \widehat {CDE}\).
dapandethi.vn