Đề bài
Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} + 2mx + 4 = 0.\)
Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức :
\({\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + \left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) = 3\)
Lời giải chi tiết
\(m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\) Gọi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
\(\Delta ' = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 2.\)
Theo định lí Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 4}\end{array}} \right.\)
Nên \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}\)
\(= \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{x_1^2x_2^2}} - 2 \\= \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 8} \right)}^2}}}{{16}} - 2\)
Ta có: \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3 \\\Leftrightarrow {\left( {4{m^2} - 8} \right)^2} = 80\)
\(\Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 2 + \sqrt 5\)
\( \Rightarrow m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\)
Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(|m| ≥ 2\).
dapandethi.vn