Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm \(A(1 ; 3).\)
LG a
Chứng minh rằng \(A\) ở ngoài đường tròn;
Lời giải chi tiết:
\((C)\) có tâm \(I(3 ; -1)\), bán kính \(R=2.\)
\(IA = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(3 + 1)}^2}}\)
\( = 2\sqrt 5 > R\), suy ra \(A\) nằm ngoài \((C).\)
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) kẻ từ \(A;\)
Lời giải chi tiết:
\(A\) nằm ngoài \((C)\) nên từ \(A\) ta kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C).\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình:
\(\alpha (x - 1) + \beta (y - 3) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \alpha x + \beta y - \alpha - 3\beta = 0 \) \(({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với (C)
\( \Leftrightarrow d(I ; \Delta ) = R \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{|3\alpha - \beta - \alpha - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
\(|\alpha - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \)
\( \Leftrightarrow \beta (3\beta - 4\alpha ) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\beta = 0\\\beta = \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.\)
Với \(\beta = 0\), ta chọn \(\alpha = 1\), ta được tiếp tuyến thứ nhất : \(x-1=0.\)
Với \(\beta = \dfrac{4}{3}\alpha \), ta chọn \(\alpha = 3, \beta = 4\), ta được tiếp tuyến thứ hai: \(3x+4y-15=0.\)
LG c
Gọi \(T_1, T_2\) là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác \(AT_1T_2\).
Lời giải chi tiết:
Từ câu b), giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm \(T_1, T_2\) của các đường tiếp tuyến với \((C)\). Tính góc giữa hai đường tiếp tuyến . Từ đó tính diện tích của tam giác \(AT_1T_2\).
dapandethi.vn