Đề bài
Biện luận theo \(m\) vị trí tương đối của đường thẳng \({\Delta _m}: x - my + 2m + 3 = 0\) và đường tròn \((C) : {x^2} + {y^2} + 2x - 2y - 2 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vị trí tương đối của đường thẳng với đường trong phụ thuộc vào khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.
+ \(d(I,\Delta ) > R\): Đường thẳng và đtron không có điểm chung
+ \(d(I,\Delta ) = R\): Đường thẳng và đtron có 1 điểm chung (tiếp xúc với nhau)
+ \(d(I,\Delta ) < R\): Đường thẳng và đtron có 2 điểm chung (đt cắt đtron)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
(C) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 - 4 = 0\\
\quad \;\; \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4
\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đtron có tâm \(I( - 1;1)\) và bán kính \(R = 2\)
Lại có:
\(d(I,\Delta ) = \frac{{\left| { - 1 - m.1 + 2m + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - m)}^2}} }} = \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\)
+ TH1: \({\Delta _m}\) không có điểm chung với \((C).\)
\(\begin{array}{l}
d(I,\Delta ) > R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} > 2\\
\Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| > 2\sqrt {{m^2} + 1} \\
\Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} > 4\left( {{m^2} + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 4m < 0\\
\Leftrightarrow 0 < m < \frac{4}{3}
\end{array}\)
+ TH2: \({\Delta _m}\) tiếp xúc với \((C).\)
\(\begin{array}{l}
d(I,\Delta ) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 4m = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
+ TH3: \({\Delta _m}\) cắt \((C)\) tại 2 điểm
\(\begin{array}{l}
d(I,\Delta ) < R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} < 2\\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 4m < 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)