Đề bài
Trên đường tròn \((O; R)\) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau \(AB, BC, CD,\) mỗi dây có độ dài nhỏ hơn \(R.\) Các đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(I,\) các tiếp tuyến của đường tròn tại \(B, D\) cắt nhau tại \(K.\)
\(a)\) Chứng minh \(\widehat {BIC} = \widehat {BKD}\)
\(b)\) Chứng minh \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {KBD}.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
\(a)\) \(\overparen{AB} = \overparen{BC} = \overparen{CD}\) \((gt)\) \( (1)\)
Trong đường tròn \((O)\) ta có \(\widehat {BKD}\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
\( \Rightarrow \widehat {BKD} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{BAD} \)\(- sđ \overparen{BCD}\))
\(=\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AB} + sđ \overparen{AmD} - sđ \overparen{BC}\)\( - sđ \overparen{CD}\)) \( (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) \( \Rightarrow \widehat {BKD} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AmD} \)\(- sđ \overparen{BC}\))\( (3)\)
Trong đường tròn \((O)\) ta có \(\widehat {BIC}\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
\( \Rightarrow \widehat {BIC} =\displaystyle {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{AmD}\) - sđ \(\overparen{BC}\)) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {BIC} = \widehat {BKD}\)
\(b)\) Xét đường tròn \((O)\) ta có:
+) \(\widehat {KBC} = \displaystyle {1 \over 2}\)sđ \(\overparen{BC}\) (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) \( (5)\)
+) \(\widehat {CBD} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{CD}\) (tính chất góc nội tiếp) \( (6)\)
Từ \((1),\) \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(\widehat {KBC} = \widehat {CBD}\). Vậy \(BC \) là tia phân giác của \(\widehat {KBD}.\)
dapandethi.vn