Đề bài
Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB // CD\)).
Đường thẳng \(a\) song song với \(DC\), cắt các cạnh \(AD\) và \(BC\) theo thứ tự là \(E\) và \(F.\)
Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}\);
b) \(\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{BF}{BC}\)
c) \(\dfrac{DE}{DA} = \dfrac{CF}{CB}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng định lí Talet.
Lời giải chi tiết
a) Nối \(AC\) cắt \(EF\) tại \(O\)
\(∆ADC\) có \(EO // DC\) (giả thiết) \( \Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AO}{OC}\) (1) (theo định lí Talet)
\(∆ABC\) có \(OF // AB\) (giả thiết) \( \Rightarrow \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BF}{FC}\) (2) (theo định lí Talet)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}\)
b) Theo câu a) ta có:
\(\eqalign{
& {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \Rightarrow {{FC} \over {BF}} = {{ED} \over {AE}} \cr
& \Rightarrow {{FC} \over {BF}} + 1 = {{ED} \over {AE}} + 1 \cr
& \Rightarrow {{FC + BF} \over {BF}} = {{ED + AE} \over {AE}} \cr
& \Rightarrow {{BC} \over {BF}} = {{AD} \over {AE}} \cr
& \Rightarrow {{AE} \over {AD}} = {{BF} \over {BC}} \cr} \)
c) Theo câu b) ta có:
\(\eqalign{
& {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \cr
& \Rightarrow {{AE} \over {ED}} + 1 = {{BF} \over {FC}} + 1 \cr
& \Rightarrow {{AE + ED} \over {ED}} = {{BF + FC} \over {FC}} \cr
& \Rightarrow {{AD} \over {ED}} = {{BC} \over {FC}} \cr
& \Rightarrow {{FC} \over {BC}} = {{ED} \over {AD}}\,\,\,hay\,\,{{DE} \over {DA}} = {{CF} \over {CB}} \cr} \)
dapandethi.vn