Đề bài
Câu 1: Với \(\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 72\) thì giá trị của n là:
A. \(n=8\)
B. \(n=9\)
C. \(n=6\)
D. \(n=5\)
Câu 2: Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay:
A. 80 B. 69
C. 82 D 70
Câu 3: Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:
A. 3260 B. 3168
C. 9000 D. 12070
Câu 4: Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ 2:
A. 10! B. 725760
C. 9! D. 9! - 2!
Câu 5: Trong khai triển \({(x - \sqrt y )^{16}}\), tổng hai số hạng cuối là:
A. \( - 16x\sqrt {{y^{15}}} + {y^8}\)
B. \( - 16x\sqrt {{y^{15}}} + {y^4}\)
C. \(16x{y^{15}} + {y^4}\)
D. \(16x{y^{15}} + {y^8}\)
Câu 6: Từ thành phố A có 10 con đường đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đến thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và không có con đường nào nối B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D.
A. 156 B. 159
C. 162 D. 176
Câu 7: Xác định hệ số của \({x^8}\) trong các khai triển sau: \(f(x) = {\left( {\dfrac{2}{x} - 5{x^3}} \right)^8}\)
A. 1312317 B. 76424
C. 427700 D. 700000
Câu 8: Gieo 2 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của 2 con súc sắc bằng 7 là:
A. \(\dfrac{2}{9}\) B. \(\dfrac{1}{6}\)
C. \(\dfrac{7}{{36}}\) D. \(\dfrac{5}{{36}}\)
Câu 9: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau \({\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\), biết rằng \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) với x > 0
A. -112640 B. 112640
C. -112643 D. 112643
Câu 10: Một lớp có 20 nam và 26 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong ban cán sự có ít nhất 1 nam:
A. 12364 B. 12580
C. 12462 D. 12561
Câu 11: Một túi chứa 2 bi trắng và 3 bi đen. Rút ra 3 bi. Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:
A. \(\dfrac{1}{5}\) B. \(\dfrac{1}{{10}}\)
C. \(\dfrac{9}{{10}}\) D. \(\dfrac{4}{5}\)
Câu 12: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình, 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra:
A. 268963 B. 168637
C. 176451 D. 176435
Câu 13: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số lớn hơn 4 và đôi một khác nhau:
A. 240 B. 120
C. 360 D. 24
Câu 14: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh làm tổ trưởng của 4 tổ sao cho trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ
A. 1164776 B. 1267463
C. 246352 D. 1107600
Câu 15: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho:
A. 4039137 B. 4038090
C. 4167114 D. 167541284
Câu 16: Cho đa giác đều n đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo:
A. n = 15 B. n = 27
C. n = 8 D. n = 18
Câu 17: Từ tập \(A = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\}\) lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
A. 720 B. 710
C. 820 D. 280
Câu 18: Trong một buổi hòa nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nẵng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.
A. 4 B. 20
C. 24 D. 120
Câu 19: Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{18}}\) là:
A. \(C_{18}^9\) B. \(C_{18}^{10}\)
C. \(C_{18}^8\) D. \(C_{18}^3\)
Câu 20: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”
A. \(P(A) = \dfrac{1}{2}\)
B. \(P(A) = \dfrac{3}{8}\)
C. \(P(A) = \dfrac{7}{8}\)
D. \(P(A) = \dfrac{1}{4}\)
Câu 21: Một bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Xác suất để được 2 quả cầu xanh và 2 quả cầu trắng là:
A. \(\dfrac{1}{{20}}\) B. \(\dfrac{3}{7}\)
C. \(\dfrac{1}{7}\) D. \(\dfrac{4}{7}\)
Câu 22: Một hộp có 4 bi xanh và 6 bi đỏ lần lượt rút 2 viên bi. Xác xuất để rút được một bi xanh và một bi đỏ là:
A. \(\dfrac{4}{{15}}\) B. \(\dfrac{6}{{25}}\)
C. \(\dfrac{8}{{25}}\) D. \(\dfrac{8}{{15}}\)
Câu 23: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4,5?
A. 3999960 B. 33778933
C. 4859473 D. 3847294
Câu 24: Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là:
A. \(\dfrac{1}{{13}}\) B. \(\dfrac{1}{4}\)
C. \(\dfrac{{12}}{{13}}\) D. \(\dfrac{3}{4}\)
Câu 25: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất cảu biến cố A: “lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”
A. \(P(A) = \dfrac{1}{2}\)
B. \(P(A) = \dfrac{3}{8}\)
C. \(P(A) = \dfrac{7}{8}\)
D. \(P(A) = \dfrac{1}{4}\)
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 72\\
\Leftrightarrow \left( {n + 1} \right)n = 72\\
\Leftrightarrow {n^2} + n - 72 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 8\,\,\left( {TM} \right)\\
n = - 9\left( {KTM} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Chọn đáp án A
Câu 2. Chủ tọa có 3 cái bắt tay, theo thứ tự lần lượt từng người tiếp tục bắt tay với những người tiếp theo thì có tổng cộng là 3 + 11+ 10 + 9 +8 + 7+ 6 + 5+ 4 + 3+ 2+ 1=69.
Chọn đáp án B.
Câu 3. Một số gồm 5 chữ lập thành từ các chữ số A={0,1, 2, 3, 4,…,9} có dạng:
\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \), với \({a_i} \in A,i = \overline {1,5} \).
a1 có 9 cách chọn do khác 0.
a2 có 10 cách chọn.
a3 có 10 cách chọn.
a4 có 10 cách c họn.
a5 = 0 nên có 1 cách chọn duy nhất.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 9.10.10.10=9000.
Chọn đáp án C.
Câu 4. Trường hợp 1: xếp quyển thứ nhất ở hai đầu thì có số cách sắp là 2.1.8!=80640.
Trường hợp 2: xếp quyển 1 vào một vị trí bất kì vào bên trong dãy sách thì có 8.2.8!= 645120.
Vậy có 80640 + 645120 = 725760 cách xếp.
Chọn đáp án B.
Câu 5. Tổng hai số hạng cuối là \(C_{16}^{16}.{x^0}{\left( { - \sqrt y } \right)^{16}} + C_{16}^{15}.x{\left( { - \sqrt y } \right)^{15}} = {y^8} - 16x\sqrt {{y^{15}}} \)
Chọn đáp án A.
Câu 6. Trường hợp 1: đi từ A đến B rồi từ B đến D có 10.6 = 60.
Trường hợp 2: đi từ A đến C rồi từ C đến D có 9.11 = 99.
Vậy có 60 + 99 = 159 cách đi từ A đến D.
Chọn đáp án B.
Câu 7. Ta có \(C_8^k.{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - 5{x^3}} \right)^k} = A.{x^8} \)
\(\Rightarrow \,\, - \left( {8 - k} \right) + 3k = 8 \Rightarrow \,\,k = 4\)
Vậy hệ số của \({x^8}\) là \(C_8^4{.2^4}.{\left( { - 5} \right)^4} = 700000\)
Chọn đáp án D.
Câu 8. Trường hợp 1: xuất hiện 1 chấm và 6 chấm có xác suất \(\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{36}}\) .
Trường hơp 2 : xuất hiện 2 chấm và 5 chấm có xác xuất \(\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{36}}\) .
Trường hợp 3: xuất hiện 3 chấm và 4 chấm có xác suất \(\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{36}}\) .
Tương tự với trường hợp 4 và 3 chấm, 5 và 2 chấm, 6 và 1 chấm.
Vậy xác suất để thỏa mãn đề bài là \(6.\dfrac{1}{{36}} = \dfrac{1}{6}\) .
Chọn đáp án B.
Câu 9.Ta có
\(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) \( \Rightarrow \,\,\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} = 78 \) \(\Leftrightarrow \,\,n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 78\,\,\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\\n = - 13\end{array} \right.\)
\(C_{12}^k.{\left( {{x^3}} \right)^{12 - k}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^k}\) không chứa x suy ra k = 9. Hệ số của số hạng đó là \(C_{12}^9{\left( { - 2} \right)^9} = - 112640\) .
Chọn đáp án A.
Câu 10. Trường hợp 1: chọn 1 nam trong ban cán sự có \(C_{20}^1.C_{26}^2 = 6500\).
Trường hợp 2: chọn 2 nam trong ban cán sự có \(C_{20}^2.C_{26}^1 = 4940\) .
Trường hợp 3: chọn 3 nam trong ban cán sự có \(C_{20}^3 = 1140\) .
Vậy có 6500 + 4940 + 1140 = 12580.
Chọn đáp án B.
Câu 11. Trường họp 1: rút được 1 bi trắng có \(C_2^1.C_3^2 = 6\)
Trường hợp 1:rút dược 2 bi trắng có \(C_2^2.C_3^1 = 3\).
Xác suất đó là \(\dfrac{{6 + 3}}{{C_5^3}} = \dfrac{9}{{10}}\) .
Chọn đáp án C.
Câu 12. Có tất cả \(C_{20}^{10}\) cách để lập đề.
Có \(C_{11}^{10} = 11\) cách để lập đề không có câu dễ.
Có \(C_{13}^{10} = 286\) cách để lập đề không có câu trung bình.
Có \(C_{16}^{10} = 8008\) cách để lập đề không có câu khó.
Vậy có tất cả \(C_{20}^{10} - 11 - 286 - 8008 = 176451\) cách để lập đề có cả ba loại câu dễ, trung bình, khó.
Chọn đáp án C
Câu 13. Số tự nhiên gốm 5 chữ số và các chữ số lớn hơn 4 có dạng
\(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \), với \({a_i} \in \{ 5,6,7,8,9\} ,i = \overline {1,5} \).
Có 5.4.3.2.1 = 120 số .
Chọn đáp án B
Câu 14. Trường hợp 1: chọn 1 nữ làm tổ trưởng có \(C_{20}^1.C_{15}^3 = 9100\) .
Trường hợp 2: chọn 2 nữ làm tổ trưởng có \(C_{20}^2.C_{15}^2 = 19950\) .
Trường hợp 3: chọn 3 nữ làm tổ trưởng có \(C_{20}^3.C_{15}^1 = 17100\).
Do các tổ trưởng có thể thay đổi cho các tổ nên có 4! = 24 cách sắp tổ trưởng.
Vậy có tất cả 24. (9100+ 19950 + 17100) = 1107600.
Chọn đáp án D.
Câu 15. Chọn hai điểm bất kì trong 2010 điểm tạo thành vec tơ ta có \(C_{2010}^2 = 2019045\).
Do vec tơ có điểm đầu và điểm cuối nên hai điểm bất kì đã chọn ra có thể tạo thành hai vec tơ ngược chiều.
Vậy ta có 2. 2019045=4038090 vec tơ.
Chọn đáp án B
Câu 16. Số đường chéo của đa giác là \(C_n^2 = 135\) \( \Rightarrow \,\,\dfrac{{n!}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} - n = 135\) \( \Leftrightarrow \,\,n\left( {n - 1} \right) - 2n = 270 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\\n = - 15\end{array} \right.\)
Chọn đáp án D.
Câu 17. Số tự nhiên gốm 6 chữ số khác nhau 4 có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \),
với \({a_i} \in \{ 1,,2,3,4,5,6,7\} ,i = \overline {1,6} \).
a6 có 1 cách chọn, do số tự nhiên cần tìm chia hế cho 5.
a1 có 6 cách chọn.
a2 có 5 cách chọn.
a3 có 4 cách chọn.
a4 có 3 cách chọn.
a5 có 2 cách chọn.
Vậy có 1.6.5.4.3.2= 720 số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
Chọn đáp án A
Câu 18. Có tất cả 5 ban nhạc. Số cách xếp thứ tự để các ban nhạc biểu diễn là 4!= 24.
Chọn đáp án C.
Câu 19. Ta có \(C_{18}^k.{\left( {{x^3}} \right)^{18 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^k}\) không chứa x nên \(3\left( {18 - k} \right) + \left( { - 3k} \right) = 0 \Rightarrow k = 9\)
Vậy số hạng cần tìm là \(C_{18}^9\) .
Chọn đáp án A.
Câu 20. Do có thể xuất hiện mặt sấp hoặc ngửa trong lần đầu tiên nên xác suất là \(P(A) = \dfrac{1}{2}\) .
Chọn đáp án A.
Câu 21. Xác suất để được 2 quả cầu xanh và 2 quả cầu trắng là: \(\dfrac{{C_4^2.C_6^2}}{{C_{10}^4}} = \dfrac{3}{7}\) .
Chọn đáp án B.
Câu 22. Xác suất để rút được một bi xanh và một bi đó là \(P = \dfrac{{C_4^1.C_6^1}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{8}{{15}}\) .
Chọn đáp án D.
Câu 23. Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là 5! số.
Mỗi chữ số trong một số có 5 chữ số được lặp lại \(\dfrac{{5!}}{5} = 4!\) lần do các số này được lập thành từ 5 số.
Vậy ta có tổng là \(4!.\left( {1 + 2 + 3 + 4 + 5} \right).\left( {{{10}^4} + {{10}^3} + {{10}^2} + 10 + 1} \right) \) \(=39996360.\)
Chọn đáp án A
Câu 24. Trong bộ bài có 52 lá và có 13 là bích nên xác suất dể rút được lá bích là \(P = \dfrac{{C_{13}^1}}{{C_{52}^1}} = \dfrac{1}{4}\).
Chọn đáp án B.
Câu 25. Do có thể xuất hiện mặt sấp hoặc ngửa trong lần đầu tiên nên xác suất là \(P(A) = \dfrac{1}{2}\) .
Chọn đáp án A.