Đề bài
Tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của tia CA lấy N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC.
a) Chứng minh IE = IF.
b) Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = CN. Chứng minh BMDC là hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang
Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\widehat B = \widehat C\) (do tam giác ABC cân tại A) mà \(\widehat C = \widehat {NCF}\) (đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat B = \widehat {NCF}\)
Xét \(\Delta MEB\) và \(\Delta NFC\) có:
+) BM=CN (gt)
+) \(\widehat B = \widehat {NCF}\)
Do đó \(\Delta MEB = \Delta NFC\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow ME = NF\)
Lại có \(ME// NF\) (cùng vuông góc với BC)
\( \Rightarrow \widehat {EMI} = \widehat {FNI}\) (so le trong)
Xét \(\Delta IME\) và \(\Delta INF\) có:
+) \(\widehat {EMI} = \widehat {FNI}\) (cmt)
+) ME=NF (cmt)
+) \(\widehat {MEI} = \widehat {NFI}=90^0\)
Từ đó \(\Delta IME = \Delta INF(g.c.g) \Rightarrow IE = IF\)
b) Ta có CD = CN mà CN = BM (gt)
\( \Rightarrow BM = CD\) mà \(AB = AC\)
\( \Rightarrow AB - BM = AC - CD\) hay AM = AD
\( \Rightarrow \Delta AMD\) cân tại A nên: \(\widehat {AMD} = \widehat {ADM} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A}}{2}\)
Mặt khác \(\Delta ABC\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} =\dfrac {{{{180}^ \circ } - \widehat A} }{2}\)
Do đó \(\widehat {AMD} = \widehat {ABC} \Rightarrow MD//BC\) hay BMDC là hình thang có \(\widehat B = \widehat C\)
Suy ra BMDC là hình thang cân.
dapandethi.vn