Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu

                   (S) :x2 + y2 +z2 - 10x + 2y + 26z - 113= 0

Và hai đường thẳng:

d: \({{x + 5} \over 2} = {{y - 1} \over { - 3}} = {{z + 13} \over 2};\)                                 

d’:\(\left\{ \matrix{  x =  - 7 + 3t \hfill \cr  y =  - 1 - 2t \hfill \cr  z = 8 \hfill \cr}  \right.\)

LG a

Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d.

Lời giải chi tiết:

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u  = \left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Mặt phẳng (P) vuông góc với d, do đó có dạng :

\(\left( P \right):2x - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + D = {\rm{ }}0.\)

Mặt cầu (S) có tâm \(I = {\rm{ }}\left( {5{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 13} \right)\) và bán kính R =\(\sqrt {308} \), vì vậy (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {308} \)

                     \(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{\left| {10 + 3 - 26 + D} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 4} }} = \sqrt {308}   \cr  &  \Leftrightarrow \left| {D - 13} \right| = \sqrt {17.308}  \Rightarrow D = 13 \pm \sqrt {5236} . \cr} \)

Tóm lại, có hai mp(P) thoả mãn yêu cầu đầu bài là

                     \(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}13{\rm{ }} \pm {\rm{ }}\sqrt {5236} {\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

LG b

Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d, d'  .

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Vectơ chỉ phương của d' là \(\overrightarrow {u'}  = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right).\)

Mặt phẳng (Q) cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right).\)

Vì vậy phương trình của mp(Q) có dạng : \(4x + 6y + 5z + D = 0.\)

Để (Q) tiếp xúc với (S), điều kiện là :

\(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \sqrt {308}  \Leftrightarrow {{\left| {20 - 6 - 65 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 36 + 25} }} = \sqrt {308} \)

\( \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = \sqrt {23716}  = 154 \Rightarrow \left[ \matrix{  D =  - 103 \hfill \cr  D = 205. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy có hai mặt phẳng (Q) cần tìm :

                 \(\eqalign{  & 4x + 6y + 5z - 103 = 0,  \cr  & 4x + 6y + 5z + 205 = 0. \cr} \)

dapandethi.vn