Đề bài
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
\(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,ABC \ne 0\)
và điểm M0(x0,y0,z0) không thuộc \(\left( \alpha \right)\). Các đường thẳng qua M0 lần lượt song song với các trục tọa độ cắt \(\left( \alpha \right)\) tại \({M_1},{M_2},{M_3}.\) Tính thể tích khối tứ diện \({M_0}{M_1}{M_2}{M_3}.\)
Lời giải chi tiết
Gọi d1 là đường thẳng qua M0 (x0 ; y0 ; z0) và song song với trục Ox thì d1 có vectơ chỉ phương là (1 ; 0 ; 0). Ta có phương trình của d1 là
\({d_1}:\left\{ \matrix{ x = {x_o} + t \hfill \cr y = y_o \hfill \cr z = {z_o}. \hfill \cr} \right.\)
Gọi M1 là giao điểm của d1 với mp(\(\alpha \)). Toạ độ (x; y; z) của M1 thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = {x_o} + t \hfill \cr y = y_o \hfill \cr z = {z_o} \hfill \cr Ax + By + Cz + D = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {M_1} = \left( {{x_o} - {{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A};{y_o};{z_o}} \right) \cr & \Rightarrow {M_O}{M_1} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A}} \right|. \cr} \)
Tương tự, gọi d2 là đường thẳng đi qua M0 và song song với Oỵ, d2 cắt (\(\alpha \)) tại M2 thì
\({M_O}{M_2} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over B}} \right|.\)
Gọi d3 là đường thẳng đi qua M0 và song song với Oz, d3 cắt (\(\alpha \)) tại M3 thì
\({M_O}{M_3} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over C}} \right|.\)
Dễ thấy MoM1, MoM2, MoM3 đôi một vuông góc, do đó
\({V_{{M_o}{M_1}{M_2}{M_3}}} = {1 \over 6}{M_o}{M_1}.{M_o}{M_2}.{M_o}{M_3} \)
\(= {{{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}^3}} \over {6.\left| {A.B.C} \right|}}.\)
dapandethi.vn