Đề bài
Cho tam giác \(ABC (AB < AC)\). Vẽ đường cao \(AH\), đường phân giác \(AD\), đường trung tuyến \(AM\). Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm \(H, D, M\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
Lời giải chi tiết
+ Nhận xét: \(D\) luôn nằm giữa \(H\) và \(M\).
+ Chứng minh:
\(AD\) là đường phân giác của \(∆ABC\).
\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)
Mà \(AB < AC\) (giả thiết)
\( \Rightarrow DB < DC\) \( \Rightarrow DB + DC < DC + DC\)
\( \Rightarrow BD + DC < 2DC\) hay \(BC < 2DC\)
\( \Rightarrow DC >\dfrac{{BC}}{2}\)
Mà \(MC = \dfrac{{BC}}{2}\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))
\( \Rightarrow DC > MC\) \( \Rightarrow M \) nằm giữa \(D\) và \(C\) (1)
+ Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C\) (\(∆CAH\) vuông tại \(H\))
\(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC)
\( \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C\)
\( \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}\)\(\, = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\)
Vì \(AB < AC\) \( \Rightarrow \widehat C < \widehat B\) ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)
\(\Rightarrow \frac{\widehat B - \widehat C}{2} > 0\)
Do đó: \(\widehat {CAH} > \dfrac{{\widehat A}}{2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\)
\( \Rightarrow \) Tia \(AD\) nằm giữa hai tia \(AH\) và \(AC\)
Do đó \(D\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(C\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(D\) nằm giữa \(H\) và \(M.\)
dapandethi.vn