Đề bài

Cho tam giác \(ABC (AB < AC)\). Vẽ đường cao \(AH\), đường phân giác \(AD\), đường trung tuyến \(AM\). Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm \(H, D, M\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

Lời giải chi tiết

Khi vẽ đường cao \(AH\), đường phân giác \(AD\) và đường trung tuyến \(AM\) (các điểm \(H,D,M\) đều thuộc cạnh \(BC\)), ta thấy rằng điểm \(D\) luôn luôn nằm giữa hai điểm \(H\) và \(M\) (h.52). Nghĩa là đường phân giác luôn nằm giữa đường cao và đường trung tuyến. Ta có thể chứng minh được điều đó như sau:

Từ tính chất của đường phân giác, ta có \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

Vì \(AB < AC\) (giả thiết), suy ra \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} < 1\) \( \Rightarrow DB < DC\) \( \Rightarrow DB + DC < 2DC\)

\( \Rightarrow BC < 2DC \Rightarrow \dfrac{{BC}}{2} < DC\) hay \(CM < DC\).

Vậy điểm \(D\) nằm bên trái điểm \(M\) (1)

Mặt khác, ta lại có:

\(\widehat {CAH} = {90^0} - \widehat C = \left( {\dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} + \dfrac{{\widehat C}}{2}} \right) - \widehat C\) \( = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\)

Vì \(AB < AC\) (giả thiết) nên \(\widehat B > \widehat C \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\) \( \Rightarrow \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2} > 0\)

Từ đó suy ra \(\widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2} > \dfrac{{\widehat A}}{2}\), nghĩa là \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\)

Vậy tia \(AD\) phải nằm giữa tia \(AH\) và \(AC\) và suy ra điểm \(H\) phải nằm bên trái điểm \(D\) (2)

Từ các kết luận (1) và (2) ta suy ra điểm \(D\) luôn nằm giữa hai điểm \(H\) và \(M\) (đpcm).