Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10.

b) (H) có tiêu cự bằng\(2\sqrt {13} \), một đường tiệm cận là \(y = \frac{2}{3}x\).

c) (H) có tâm sai bằng \(e = \sqrt 5 \), và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

PTCT của hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Độ dài nửa trục thực bằng a,

+ Tiêu cự bằng \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

+ Hai đường tiệm cận \(y =  - \frac{b}{a}x\) và \(y = \frac{b}{a}x\)

+ Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết

a) + Độ dài nửa trục thực \(a = 4\)

+ Tiêu cự bằng \(10 = 2c = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}}  \Rightarrow b = 3\).

\( \Rightarrow \) PTCT của hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

b)

+ Tiêu cự bằng \(2\sqrt {13}  = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} \).

+ Hai đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\{a^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\) (vì a, b > 0)

\( \Rightarrow \) PTCT của hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

c) + Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a} = \sqrt 5  \Rightarrow c = \sqrt 5 a\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 5 a \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = {b^2} \Rightarrow 2a = b\) (vì a, b > 0)

+ (H) đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\) nên  \(\frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow a = 1,b = 2\)

\( \Rightarrow \) PTCT của hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)