Đề bài
Cho hàm số \(y = mx + \left( {2m + 1} \right)\) (1)
Với mỗi giá trị của \(m \in R\) , ta có một đường thẳng xác định bởi (1) . Như vậy, ta có một họ đường thẳng xác định bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, họ đường thẳng xác định bởi (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Cách tìm điểm cố định của họ đường thẳng \({y} = m{x} + n\) (1)
Giả sử điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà họ đường thẳng (1) đi qua.
Khi đó: \({y_0} = m{x_0} + n\)
Chuyển vế và biến đổi phương trình về dạng \(a.m+b=0\)
Để phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của m thì:
\(a = 0\) và \(b= 0.\)
Từ đó tìm được \(x_0\) và \(y_0\).
Lời giải chi tiết
Chứng minh họ đường thẳng \(y = mx + \left( {2m + 1} \right)\) (1) luôn đi qua một điểm cố định nào đó.
Giả sử điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm mà họ đường thẳng (1) đi qua với mọi m.
Khi đó tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số (1).
Với mọi m, ta có: \({y_0} = m{x_0} + \left( {2m + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow m{x_0} +2m + 1-y_0=0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x_0} + 2} \right)m + \left( {1 - y_0} \right) = 0\)
Vì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của m nên tất cả các hệ số phải bằng 0.
Suy ra:
\(\eqalign{
& {x_0} + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 2 \cr
& 1 - {y_0} = 0 \Leftrightarrow {y_0} = 1 \cr} \)
Vậy \(A(-2;1)\) là điểm cố định mà họ đường thẳng \(y = mx + \left( {2m + 1} \right)\) luôn đi qua với mọi giá trị \(m.\)
dapandethi.vn