Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Vẽ tia \(Bx\) sao cho tia \(BC\) nằm giữa hai tia \(Bx;\) \(BA\) và \(\widehat {CBx}= \widehat {BAC}\). Chứng minh rằng \(Bx\) là tiếp tuyến của \((O).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Nếu các tia \(Oy\) và \(Oz\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Ox\) và \(\widehat{xOy}=\widehat{xOz}\) thì tia \(Oy\) và \(Oz\) trùng nhau.
Lời giải chi tiết
\(∆ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có ba khả năng xảy ra của tam giác
- \(∆ABC\) là tam giác nhọn
- \(∆ABC\) là tam giác vuông
- \(∆ABC\) là tam giác tù
Xét \(∆ABC\) là tam giác nhọn (tam giác vuông và tam giác tù chứng minh tương tự)
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ đường thẳng \(BC\) chứa tia \(Bx\) ta kẻ tia \(By\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)
\( \Rightarrow \widehat {CBy} = \widehat {BAC}\) (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
Mà \(\widehat {CBx} = \widehat {BAC}\) \((gt)\)
Suy ra: \(\widehat {CBy} = \widehat {CBx}\)
Lại có \(By\) và \(Bx\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BC\) tạo với \(BC\) một góc bằng nhau.
Do đó, \(By\) và \(Bx\) trùng nhau.
Vậy \(Bx\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
dapandethi.vn