Đề bài
a) Cho hai điểm \(A, B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d\) (h.\(38\)). Gọi \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d.\) Gọi \(D\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đoạn thẳng \(BC.\) Gọi \(E\) là điểm bất kì của đường thẳng \(d\) (\(E\) khác \(D\)).
Chứng minh rằng \(AD + DB < AE + EB.\)
b) Bạn Tú đang ở vị trí \(A\), cần đến bờ sông \(d\) lấy nước rồi đi đến vị trí \(B\) (h.\(38\)). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \( d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
- Điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút đoạn thẳng đó.
- Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
a) Điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d\) nên \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\).
do đó \( AD = CD; AE = CE\)
Ta có \( AD + DB = CD + DB = CB \) (1)
\( AE + EB = CE + EB \) (2)
Xét \(\Delta BEC\) ta có: \(CB < CE + EB\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \( AD + DB < AE + EB.\)
b) Theo câu a) suy ra con đường ngắn nhất mà bạn Tú phải đi là con đường \(ADB.\)
dapandethi.vn