Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(k\), thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng với hai tam giác đó cũng bằng \(k\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

- Định lí: Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất trung tuyến.

Lời giải chi tiết

Từ giả thiết \(\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\) theo tỉ số k (h.30) nên ta có:

\(\widehat {A'} = \widehat A;\widehat {B'} = \widehat B;\widehat {C'} = \widehat C;\) \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{A'C'}}{{AC}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = k\)

Xét hai tam giác \(\Delta A'B'M'\) và \(\Delta ABM\):

\(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = k\) nên \(\dfrac{{\dfrac{1}{2}B'C'}}{{\dfrac{1}{2}BC}} = k\) hay \(\dfrac{{B'M'}}{{BM}} = k\) (1)

Mặt khác \(\widehat {B'} = \widehat B\) và \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = k\) (2) (theo giả thiết)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\)

Theo định lý về trường hợp đồng dạng thứ hai, ta suy ra:

\(\Delta A'B'M' \backsim \Delta ABM\) \( \Rightarrow \dfrac{{A'M'}}{{AM}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = k\) (đpcm)

Vậy: nếu hai tam giác đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k\) thì tỉ số hai trung tuyến tương ứng cũng bằng \(k\).

dapandethi.vn