Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là một điểm bất kì trên đường chéo \(AC\). Qua \(O\) kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt \(AB\) và \(DC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\), cắt \(AD\) và \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Chứng minh rằng:
LG a
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \);
Phương pháp giải:
Chuyển vế và thực hiện phép trừ các véc tơ.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \); \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \)
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên ta có \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \)
Vậy \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} \).
LG b
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Tứ giác \(AMOE\) là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} \)(1)
Tứ giác \(OFCN\) là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {FN} = \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC} \)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \)
\(= \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC} \)
\(=(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {FO} ) + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FC} )\)
\(\begin{array}{l}
= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right)
\end{array}\)
(Vì \(\overrightarrow {FO} = \overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {BF} \))
\( = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \)
Vậy \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \)
dapandethi.vn