Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình :
LG a
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3{ {x}} - 4 \le 0}\\{\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm ;
Lời giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} - 3{ {x}} - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = - 1,{x_2} = 4,\) nên bất phương trình \({x^2} - 3{ {x}} - 4 \le 0\) có tập nghiệm là \({S_1} = \left[ { - 1;4} \right].\)
Xét bất phương trình
\(\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x \ge 2.\) (1)
*) Nếu \(m – 1 = 0\) thì bất phương trình trên vô nghiệm.
*) Nếu \(m – 1 > 0 ⇔ m > 1\) thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là
\({S_2} = \left[ {\dfrac{2}{{m - 1}}; + \infty } \right).\)
Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \) tức là
\(\dfrac{2}{{m - 1}} \le 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le m - 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2},\) thỏa mãn điều kiện m > 1.
Vậy \(m \ge \dfrac{3}{2}.\)
*) Nếu \(m – 1 < 0 ⇔ m < 1\) thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là
\({S_3} = \left( { - \infty ;\dfrac{2}{{m - 1}}} \right].\)
Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là
\({S_1} \cap {S_3} \ne \emptyset \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m - 1}} \ge - 1\)
\(\Leftrightarrow - \left( {m - 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 1.\)
Thỏa mãn điều kiện \(m < 1\). Vậy \(m ≤ -1\).
Tóm lại các giá trị của m để hệ có nghiệm là \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\)
LG b
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 10{ {x}} + 16 \le 0}\\{m{ {x}} \ge 3m + 1}\end{array}} \right.\) vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Tập hợp các giá trị m thỏa mãn bài toán là :
\(\left( { - \dfrac{1}{{11}}; + \infty } \right).\)
dapandethi.vn