Bài IV.1
Cho hàm số \(y = - 3{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A) Khi \(0 < x < 15,\) hàm số đồng biến
B) Khi \(-1 < x < 1,\) hàm số đồng biến
C) Khi \(-15 < x < 0,\) hàm số đồng biến
D) Khi \(-15 < x < 1,\) hàm số đồng biến
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Hàm số \(y=ax^2\,(a\ne 0)\) với \(a<0\) thì đồng biến khi \(x<0\) và nghịch biến khi \(x>0.\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số: \(y = - 3{x^2}\) đồng biến khi \(x<0\) và nghịch biến khi \(x>0.\)
Nên khi \(-15 < x < 0\) thì hàm số đồng biến.
Chọn C.
Bài IV.2
Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng \(S,\) tích của chúng bằng \(P\) thì ta giải phương trình nào sau đây?
A) \({x^2} + Sx + P = 0\)
B) \({x^2} - Sx + P = 0\)
C) \({x^2} - Sx - P = 0\)
D) \({x^2} + Sx - P = 0\)
Phương pháp giải:
Sử dụng: Hai số có tổng là \(S\) và có tích là \(P\) là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0.\)
Lời giải chi tiết:
Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình \({x^2} - Sx + P = 0.\)
Chọn B.
Bài IV.3
Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\)
b) \(\displaystyle {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)
c) \(\displaystyle 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} \)\(\displaystyle - 3x - 4 = 0\)
d) \(\displaystyle \left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) \)\(\displaystyle - 6 = 0\)
Phương pháp giải:
Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích
\(\displaystyle A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left( x \right) = 0\\
B\left( x \right) = 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\displaystyle {x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 2{x^2} + 4x - 3x - 6 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right) + 2x\left( {x + 2} \right) \)\(\displaystyle - 3\left( {x + 2} \right) = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x + 2 = 0} \cr
{{x^2} + 2x - 3 = 0} \cr
} } \right. \)
\(\displaystyle +) \, x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \)
\(\displaystyle +)\,{x^2} + 2x - 3 = 0\).
Phương trình có: \(\displaystyle a + b + c =1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\) nên có hai nghiệm:
\(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = - 2;{x_2} = 1;{x_3} = - 3\)
b)
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - {x^2} + x - 6x + 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x - 1 = 0} \cr
{{x^2} - x - 6 = 0} \cr
} } \right. \cr} \)
\(\displaystyle +) \,x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \)
\(\displaystyle +)\, {x^2} - x - 6 = 0 (*) \)
Ta có: \(\displaystyle \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) \)\(\displaystyle = 1 + 24 = 25 > 0 \)
Suy ra \(\displaystyle \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \)
Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {{1 + 5} \over {2.1}} = 3 \)
và \(\displaystyle {x_2} = {{1 - 5} \over {2.1}} = - 2 \)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = 3;{x_3} = - 2\)
c) \(\displaystyle 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} \)\(\displaystyle - 3x - 4 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + {x^2} \)\(\displaystyle - 3\sqrt 2 {x^2} - 3x - 4 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right)^2} \)\(\displaystyle - 3\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right) - 4 = 0 \)
Đặt \(\displaystyle \sqrt 2 {x^2} + x = t,\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 3t - 4 = 0\)
Phương trình này có: \(\displaystyle a - b + c =1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\)
Suy ra có hai nghiệm: \(\displaystyle {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 4} \over 1} = 4\)
Với \(\displaystyle t = - 1 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x + 1 = 0 \,(1)\)
Ta có: \(\displaystyle \Delta = 1 - 4.\sqrt 2 .1 = 1 - 4\sqrt 2 < 0\) nên phương trình (1) vô nghiệm
Với \(\displaystyle t = 4 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x = 4\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + x - 4 = 0\,(2)\)
Ta có: \(\displaystyle \Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - 4} \right) = 1 + 16\sqrt 2 > 0 \)
\(\displaystyle \sqrt \Delta = \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } \)
Phương trình (2) có hai nghiệm:
\(\displaystyle {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} \)\(\displaystyle = {{ - \sqrt 2 + \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \)
\(\displaystyle {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} \)\(\displaystyle = {{ - \sqrt 2 - \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \)
Phương trình đã cho có hai nghiệm.
d) \(\displaystyle \left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right)\)\(\displaystyle - 6 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 5} \right]\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right)\)\(\displaystyle - 6 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right)^2} - 5\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) \)\(\displaystyle - 6 = 0 \)
Đặt \(\displaystyle 2{x^2} + 7x - 3 = t,\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 5t - 6 = 0\)
Phương trình này có: \(\displaystyle a - b + c = 1 - \left( { - 5} \right) + \left( { - 6} \right) = 0\) nên có hai nghiệm:
\(\displaystyle {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 6} \over 1} = 6\)
Với \(\displaystyle t = -1\) ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& 2{x^2} + 7x - 3 = - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 2 = 0 \cr
& \Delta = {7^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 49 + 16 = 65 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {65} \cr
& {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4} \cr} \)
Với \(\displaystyle t = 6,\) ta có: \(\displaystyle 2{x^2} + 7x - 3 = 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 9 = 0\)
Phương trình này có : \(\displaystyle a + b + c = 2 + 7 + \left( { - 9} \right) = 0\) nên có hai nghiệm:
\(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = - {9 \over 2}\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
\(\displaystyle {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4};{x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4};\)\(\displaystyle {x_3} = 1;{x_4} = - {9 \over 2}\)
Bài IV.4
Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) có hai nghiệm. Xác định \(p\) biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng \(254.\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(ax^2+b x+c=0\,(a\ne 0\) có hai nghiệm \(x_1;x_2\) khi \(\Delta \ge 0\)
Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thì \(\Delta \ge 0\)
Ta có: \( \Delta = {p^2} - 4 \)
\( \Rightarrow {p^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} \ge 4\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
p > 2\\
p < - 2
\end{array} \right.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - p;{x_1}{x_2} = 1\)
Theo bài ra ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} - 2.1 = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} = 256 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{p = 16} \cr
{p = - 16} \cr} } \right. \cr} \)
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy với \(p = 16\) hoặc \(p = -16\) thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254.\)
Bài IV.5
Cho phương trình: \(\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\). Tìm các giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt
b) Có 3 nghiệm phân biệt
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có một nghiệm
e) Vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Đặt \(\displaystyle x^2=t\ge 0\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn rồi biện luận số nghiệm theo \(\displaystyle \Delta, \,S, \, P.\)
Lời giải chi tiết:
Cho phương trình: \(\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\) (1)
Đặt \(\displaystyle {x^2} = t \,(t \ge 0),\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 13t + m = 0\) (2)
\(\displaystyle \Delta = 169 - 4m\)
a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm \(\displaystyle t_1,t_2\) dương phân biệt. Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 169 - 4m > 0\\
{t_1} + {t_2} = 13 > 0\\
{t_1}.{t_2} = m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{{169}}{4}\\
m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{{169}}{4}
\end{array}\)
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng \(\displaystyle 0\) khi:
\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < { {169} \over 4}} \cr
{m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.\)
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm (tức hai nghiệm trái dấu)
+) Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi \(\displaystyle \Delta = 169 - 4m = 0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}>0\) (thỏa mãn)
+) Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi
\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < {{169} \over 4}} \cr
{m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.\)
Vậy với \(\displaystyle m = {{169} \over 4}\) hoặc \(\displaystyle m < 0\) thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.
Theo câu c) ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép \(\displaystyle {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0\) (loại)
Nếu phương trình (2) có một nghiệm \(\displaystyle t_1 = 0\) thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 \)\(\displaystyle \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0\)
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.
e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.
Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 > 0\) vô lý
Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.
Suy ra: \(\displaystyle \Delta = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}\)
dapandethi.vn