Đề bài
Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(A\) cố định trên đường tròn. Gọi \(xy\) là tiếp tuyến với đường tròn tại \(A.\) Từ một điểm \(M\) nằm trên \(xy,\) vẽ tiếp tuyến \(MB\) với đường tròn. Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(MAB.\)
\(a)\) Chứng minh rằng ba điểm \(M, H, O\) thẳng hàng.
\(b)\) Tứ giác \(AOBH\) là hình gì \(?\)
\(c)\) Khi \(M\) di chuyển trên \(xy\) thì \(H\) di chuyển trên đường nào \(?\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\(a)\) Để chứng minh \(M, O, H:\)
- Ta chứng minh \(MO \bot AB,\) \(MH\bot AB\)
\(b)\) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi (hình bình hành có một cặp cạnh bằng nhau là hình thoi) để chứng minh tứ giác \(AOBH\) là hình thoi.
\(c)\) Liên kết các dữ kiện và các phần đã được chứng minh để tìm ra dược \(H\) cách \(A\) một đoạn không đổi, từ đó tìm được quỹ tích của \(M\) khi chuyển động thì \(H\) cũng chuyển động trên đường tròn tâm \(A,\) bán kính không đổi.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Vì H là trực tâm của tam giác MAB nên \(MH\bot AB\) (1)
Xét đường tròn (O) có MA và MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên \(OM\) là phân giác của góc BOA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có \(OA=OB\) (= bán kính đường tròn (O)) nên tam giác OAB cân tại O có OM là đường phân giác nên OM cũng là đường cao. Suy ra \(OM \bot AB\) (2)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(MH\) và \(MO\) đều vuông góc với AB nên \(M, H, O\) thẳng hàng.
\(b)\) Xét đường tròn (O) có MB, MA là tiếp tuyến nên \(OB\bot MB, OA\bot MA\)
Xét tam giác MAB có H là trực tâm nên \(AH\bot MB,BH\bot MA\)
Tứ giác \(AOBH\) có
\(BH // OA\) (cùng vuông góc với \(MA\)),
\(AH // OB\) (cùng vuông góc với \(MB\)).
Suy ra tứ giác \(AOBH\) là hình bình hành, mà \(OA = OB\) (cmt) nên tứ giác \(AOBH\) là hình thoi.
\(c)\) Ta có \(HA=OA\) (do \(AOBH\) là hình thoi),
Nên \(H\) cách \(A\) cố định một khoảng bằng \(OA\) không đổi.
Như vậy, khi \(M\) chuyển động trên \(xy\) thì H di chuyển trên đường tròn \((A ; AO).\)
dapandethi.vn