Đề bài
Cho góc nhọn \(xOy,\) điểm \(A\) nằm trong góc đó. Dựng điểm \(B\) thuộc tia \(Ox,\) điểm \(C\) thuộc tia \(Oy\) sao cho tam giác \(ABC\) có chu vi nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Cách dựng:
- Dựng điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\)
- Dựng điểm \(E\) đối xứng với \(A\) qua tia \(Oy\)
- Nối \(DE\) cắt \(Ox\) tại \(B, Oy\) tại \(C\)
Tam giác \(ABC\) là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Vì \(\widehat {xOy} < {90^0}\) nên \(DE\) luôn cắt \(Ox\) và \(Oy\) do đó \(∆ ABC\) luôn dựng được.
Chứng minh:
Chu vi \(∆ ABC\) bằng \(AB + BC + AC\)
Vì \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\) nên \(Ox\) là đường trung trực của \(AD\)
\(⇒ AB = BD\) ( tính chất đường trung trực)
\(E\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy\) nên \(Oy\) là đường trung trực của \(AE\)
\(⇒AC = CE\) ( tính chất đường trung trực)
Suy ra: \(AB + BC + AC \)\(= BD + BC + CE = DE \;\;(1)\)
Lấy \(B’\) bất kì trên \(Ox,\) \(C’\) bất kì trên tia \(Oy.\) Nối \(C’E,\) \(C’A,\) \(B’A,\) \(B’D.\)
Ta có: \(B’A = B’D\) ( tính chất đường trung trực)
\(C’A = C’E\) (tính chất đường trung trực)
Chu vi \(∆ AB’C’\) bằng \(AB’ + AC’ + B’C’\)\( = B’D + B’C’ +C’E \;\;(2)\)
Vì \(DE ≤ B’D + B’C’ + C’E\) (dấu bằng sảy ra khi \(B’\) trùng \(B,\) \(C’\) trùng \(C\))
nên chu vi của \(∆ ABC ≤\) chu vị của \(∆ A’B’C’\)
Vậy \(∆ ABC\) có chu vi bé nhất.
dapandethi.vn