Bài 7.1
Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\)
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
- Giải phương trình mới tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện.
- Giải phương trình ẩn \(x\) ứng với từng nghiệm trên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 2.x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = t\)
Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} + 2t - 3 = 0\) có \(\displaystyle 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\)
Với \(t_1=1\) ta có:
\(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 1 + 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với \(t_2=-3\) ta có: \(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\)
\(\displaystyle \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.3 = 1 - 12\) \( = - 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm:
\(\displaystyle {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\).
Điều kiện \(\displaystyle 3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 5 - \sqrt {3 - 2x} = 3 - 2x\)
Đặt \(\displaystyle \sqrt {3 - 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình:
\(\displaystyle 5 - t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt {21} } \over {2.1}} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \)
\(\displaystyle {t_2} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {3 - 2x} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& \Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2\sqrt {21} \cr
& \Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2\sqrt {21} \cr
& \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} - 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} - 5} \over 4} \cr} \)
Phương trình có \(1\) nghiệm:
\(\displaystyle x = {{\sqrt {21} - 5} \over 4}\)
Bài 7.2
Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\)
a) Giải phương trình khi \(m = 2\).
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
Phương pháp giải:
a) Thay \(m=2\) và giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
b) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, chứng minh phương trình này có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Lời giải chi tiết:
a) Khi \(m = 2\) ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)
Ta có: \(x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - 2 = 0\)
Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 2 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \cr
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \)
\({t_2} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \cr
& \Rightarrow x - 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \cr
& \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3 \cr} \)
Vậy phương trình có \(1\) nghiệm \(x = 5 - 2\sqrt 3 \)
b) \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\).
Điều kiện \(x \ge 1\)
\( \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 10 = 0\)
Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\)
\(a = 1 > 0;c = - {m^2} + 6m - 10 = - \left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right) = - \left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) nên \(c < 0 \)
\(⇒ a\) và \(c\) khác dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt \(t_1\) và \(t_2\) trái dấu nhau.
Giả sử \(t_1>0\) thì \(\sqrt {x - 1} = t_1\Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\ge 1\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.
Bài 7.3
(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình
\(\displaystyle \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình về
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
- Nhận xét phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
- Phương trình đã cho có \(\displaystyle 3\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm duy nhất không trùng với hai nghiệm của (1) hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là nghiệm của (1).
Lời giải chi tiết:
Phương trình:
\(\displaystyle \eqalign{
& \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr
{{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \)
Ta xét phương trình (1): \(\displaystyle {x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\(\displaystyle {\Delta _1}' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left[ { - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi \(\displaystyle m\)
Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình (2): \(\displaystyle {x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& {\Delta _2}' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left[ { - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr
& = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr
& = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \)
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \(\displaystyle {\Delta _2}' \ge 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - m + 2} \right) \ge 0 \cr} \)
Vì \(\displaystyle {m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} \) \(\displaystyle = {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)
\(\displaystyle \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\)
Vậy với \(\displaystyle m ≥ -1\) thì phương trình (2) có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có \(\displaystyle 1 \) nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).
Ta có: \(\displaystyle {\Delta _2}' = 0\) suy ra \(\displaystyle m = -1\) và nghiệm kép phương trình (2) là: \(\displaystyle x = 2\)
Khi đó, \(\displaystyle x = 2\) không được là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:
\(2^2 - 2m.2 - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle 4 - 4m - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow - 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \)
loại vì \(\displaystyle m = -1\)
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(\displaystyle x_1\) và \(\displaystyle x_2\) trong đó có \(\displaystyle 1\) nghiệm giả sử là \(\displaystyle x_1\) cũng là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2) có \(\displaystyle 2\) nghiệm phân biệt \(\displaystyle \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)
Và gọi \(x_1\) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2), ta có:
\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr
{{x_1}^2 - 4{x_1} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} - 2{m^2} + m - 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right)({x_1} -\left( {{m^2} + 1} \right)) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 (m\ne 2) \cr} \)
Vì \(\displaystyle x_1\) cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \(\displaystyle {x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4} \right] = 0 \cr} \)
(vì \(\displaystyle {m^2} + 1 > 0\) )
\(\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m = 3} \cr
{m = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vì \(\displaystyle m > -1\) nên \(\displaystyle m = -1\) loại
Vậy \(\displaystyle m = 3 \) (thỏa mãn).
Thay \(\displaystyle m = 3\) vào phương trình (1) và (2) ta có:
Phương trình (1): \(\displaystyle {x^2} - 6x - 40 = 0\)
Phương trình (2): \(\displaystyle {x^2} - 4x - 60 = 0\)
Giải phương trình (1):
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 6x - 40 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( { - 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{3 - 7} \over 1} = - 4 \cr} \)
Giải phương trình (2):
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 4x - 60 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8 \cr
& {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr
& {x_2} = {{2 - 8} \over 1} = - 6 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có đúng \(\displaystyle 3\) nghiệm khi \(\displaystyle m = 3\)
dapandethi.vn