Bài 6.28 trang 21 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt { - {x^2} + 77x - 212}  = \sqrt {{x^2} + x - 2} \)

b) \(\sqrt {{x^2} + 25x - 26}  = \sqrt {x - {x^2}} \)

c) \(\sqrt {4{x^2} + 8x - 37}  = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \)

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt { - {x^2} + 77x - 212}  = \sqrt {{x^2} + x - 2} \) (1)

Bình phương 2 vế của (1) ta được:

\( - {x^2} + 77x - 212 = {x^2} + x - 2\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 76x + 210 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\) hoặc x = 35

+) Thay x = 3 vào PT (1): \(\sqrt { - {3^2} + 77.3 - 212}  = \sqrt {{3^2} + 3 - 2}  \Leftrightarrow \sqrt {10}  = \sqrt {10} \) , thỏa mãn

+) Thay x = 35 vào PT (1): \(\sqrt { - {{35}^2} + 77.35 - 212}  = \sqrt {{{35}^2} + 35 - 2}  \Leftrightarrow \sqrt {1258}  = \sqrt {1258} \), thỏa mãn

Vậy PT (1) có 2 nghiệm là x = 3; x = 35

b) \(\sqrt {{x^2} + 25x - 26}  = \sqrt {x - {x^2}} \) (2)

Bình phương 2 vế của (2) ta được:

\({x^2} + 25x - 26 = x - {x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 24x - 26 = 0 \Leftrightarrow x =  - 13\) hoặc x = 1

+) Thay x = -13 vào PT (2): \(\sqrt {{{( - 13)}^2} + 25.( - 13) - 26}  = \sqrt {( - 13) - {{( - 13)}^2}}  \Leftrightarrow \sqrt { - 182}  = \sqrt { - 182} \), vô lí

+) Thay x = 1 vào PT (2): \(\sqrt {{1^2} + 25.1 - 26}  = \sqrt {1 - {1^2}}  \Leftrightarrow \sqrt 0  = \sqrt 0 \), thỏa mãn

Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x = 1

c) \(\sqrt {4{x^2} + 8x - 37}  = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \) (3)

Bình phương 2 vế của (3) ta được:

\(4{x^2} + 8x - 37 =  - {x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow 5{x^2} + 10x - 40 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\) hoặc x = 2

+) Thay x = -4 vào PT (3): \(\sqrt {4.{{( - 4)}^2} + 8.( - 4) - 37}  = \sqrt { - {{( - 4)}^2} - 2.( - 4) + 3}  \Leftrightarrow \sqrt { - 5}  = \sqrt { - 5} \), vô lí

+) Thay x = 2 vào PT (3): \(\sqrt {{{4.2}^2} + 8.2 - 37}  = \sqrt { - {2^2} - 2.2 + 3}  \Leftrightarrow \sqrt { - 5}  = \sqrt { - 5} \), vô lí

Vậy PT (3) vô nghiệm