Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB, E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D\).

a) Chứng minh rằng điểm \(E\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(AB\).

b) Các tứ giác \(AEMC, AEBM\) là hình gì? Vì sao?

c) Cho \(BC = 4cm\), tính chu vi tứ giác \(AEBM\).

d) Tam giác vuông \(ABC\), có điều kiện gì thì \(AEBM\) là hình vuông?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Lời giải chi tiết

a) \(∆ABC\) có \(MB = MC\) và \(BD = DA\) nên \(DM\) là đường trung bình , suy ra \(MD // AC\) 

Ta lại có \(AC ⊥ AB\) nên \(MD ⊥ AB\)

Ta có \(MD ⊥ AB\) (chứng minh trên) và \(MD=DE\) (vì \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(D\)) nên \(AB\) là đường trung trực của \(ME\), do đó \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\).

b) Tứ giác \(AEMC\) có \(EM // AC\) và \(EM = AC\) (vì cùng bằng \(2DM\)) nên \(AEMC\) là hình bình hành.

Tứ giác \(AEBM\) có \(DA=DB\) và \(DM=DE\) nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(AEBM\) có \(AB ⊥ EM\) nên là hình thoi.

c) \(BC = 4 cm \) nên \( BM = 2 cm\)

Tứ giác \(AEBM\) là hình thoi (câu b)) có chu vi bằng \(4.BM = 4. 2 = 8\;(cm)\)

d) Ta đã có \(AEBM\) là hình thoi (câu b))

Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔AM ⊥ BM\) \(⇔∆ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) là đường cao \(⇔∆ABC\) cân tại \(A\).

Vậy nếu tam giác vuông \(ABC\) có thêm điều kiện cân thì \(AEBM\) là hình vuông.

dapandethi.vn