Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) và đường trung tuyến \(BM\). Trên đoạn thẳng \(BM\) lấy điểm \(D\) sao cho \(\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DM}} = \dfrac{1}{2}\) . Tia \(AD\) cắt \(BC\) ở \(K\). Tìm tỉ số diện tích của tam giác \(ABK\) và tam giác \(ABC.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Định lí: trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3.
- Công thức tính diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết
Kẻ \(ME\) song song với \(AK (E ∈ BC)\).
Ta có: \(\dfrac{{BK}}{{KE}} = \dfrac{{BD}}{{DM}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow KE = 2BK\)
Trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3. Do đó E là trung điểm cạnh KC.
Suy ra \(ME\) là đường trung bình của tam giác \(ACK\) nên \(EC = KE = 2BK\).
Ta có : \(BC = BK + KE + EC\)\(\, = BK + 2BK + 2BK = 5BK\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BK}}{{BC}} = \dfrac{1}{5}\)
\(\dfrac{{{S_{ABK}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{BK}}{{BC}} = \dfrac{1}{5}\) (vì hai tam giác \(ABK\) và \(ABC\) có chung đường cao hạ từ \(A\)).
dapandethi.vn