Đề bài
Cho hình thang vuông \(ABCD\) \((\widehat A = \widehat D = 90^\circ ),\) \(AB = 4cm,\) \(BC = 13cm,\) \(CD = 9cm.\)
\(a)\) Tính độ dài \(AD.\)
\(b)\) Chứng minh rằng đường thẳng \(AD\) tiếp xúc với đường tròn có đường kính là \(BC.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dung kiến thức:
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
+) Nếu \(d=R\) thì đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O)\) tiếp xúc nhau (với \(d\) là khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(a\))
Lời giải chi tiết
\(a)\) Kẻ \(BE ⊥ CD\) tại \(E\)
Suy ra tứ giác \(ABED\) là hình hình chữ nhật (vì có ba góc vuông \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\))
Suy ra \(AD = BE\), \(DE = AB = 4 (cm)\)
Suy ra: \(CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(BCE\) ta có:
\(B{C^2} = B{E^2} + C{E^2}\)
Suy ra: \(B{E^2} = B{C^2} - C{E^2} \)\(= {13^2} - {5^2} = 144\)
\(BE = 12 (cm)\)
Vậy: \(AD = 12 (cm)\)
\(b)\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\)
Ta có: \(IB = IC = \displaystyle {1 \over 2}BC \)\(= \displaystyle {1 \over 2}.13 = 6,5 (cm)\) \((1)\)
Kẻ \(IH ⊥ AD.\)
Xét hình thang ABCD ta có: \(IH//AB//CD\) (cùng vuông góc với AD), mà I là trung điểm BC nên H là trung điểm AD.
Khi đó \(HI\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD.\)
Ta có: \(HI = \displaystyle {{AB + CD} \over 2} \)\(= \displaystyle {{4 + 9} \over 2} = 6,5 (cm)\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(IH=IB=\displaystyle {1 \over 2}BC \)
Vậy đường tròn \(\left( {I;\displaystyle {{BC} \over 2}} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(AD.\)
dapandethi.vn