Đề bài
Cho đường tròn (C) tâm \({F_1}\), bán kính r và một điểm \({F_2}\) thỏa mãn \({F_1}{F_2} = 4r\).
a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với \((C)\) nằm trên một đường hypebol (H).
b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).
Lời giải chi tiết
a) Xét đường tròn \((M,R)\) đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với \((C)\)
Ta có: \(M{F_1} = R + r;M{F_2} = R \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = r\)
\( \Rightarrow M \in \) hypebol (H) có \(2c = 4r\) và \(2a = r\)
b) Ta có: \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 4{r^2} - {\left( {\frac{r}{2}} \right)^2} = \frac{{15{r^2}}}{4}\)
Phương trình chính tắc của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{{{r^2}}}{4}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{15{r^2}}}{4}}} = 1\)
Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2r}}{{\frac{r}{2}}} = 4\)