Đề bài
a) Cho \(\displaystyle x > 0\), chứng tỏ \(\displaystyle x + {1 \over x} \ge 2.\)
b) Từ kết quả câu a, nếu \(x < 0\) sẽ có kết quả nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng hằng đẳng thức \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.
Lời giải chi tiết
a) Nếu có \(\displaystyle x + {1 \over x} - 2 \ge 0\) thì suy ra \(\displaystyle x + {1 \over x} \ge 2\)
nên ta sẽ chứng tỏ \(\displaystyle x + {1 \over x} - 2 \ge 0\)
Ta có, \(\displaystyle x + {1 \over x} - 2 = {{{x^2} + 1 - 2x} \over x} \) \(\displaystyle= {{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x}\)
Vì \(\displaystyle{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với \(x\) bất kì và \(x >0\) nên \(\displaystyle{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over x} \ge 0\)
Vậy \(\displaystyle x + {1 \over x} - 2 \ge 0\) , nghĩa là \(\displaystyle x + {1 \over x} \ge 2.\)
b) Nếu \(x < 0\), ta đặt \(a = -x\) thì \(a > 0.\)
Từ kết quả câu a, ta có \(\displaystyle a + {1 \over a} \ge 2.\)
Thay \(a = -x\), ta có :
\(\displaystyle - x + {1 \over { - x}} \ge 2\) \((1)\)
Nhân hai vế của \((1)\) với số \(-1\), ta có :
\(\displaystyle -1.(- x + {1 \over { - x}}) \le 2.(-1)\)
\(\displaystyle \Rightarrow x + {1 \over x} \le - 2\)
Vậy, với \(x < 0\) thì \(\displaystyle x + {1 \over x} \le - 2.\)
dapandethi.vn