Bài 10 trang 46

Đề bài

Bài 10(2.62). Bài toán cổ.

Bác kia chăn vịt khác thường

Buộc đi cho được chẵn hàng mới ra

Hàng 2 xếp thấy chưa vừa

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con

Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn

Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy

Xếp thành hàng 7, đẹp thay

Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài.

(Biết số vịt chưa đến 200 con).

Lời giải chi tiết

Giả sử số vịt là n (con), khi đó n < 200.

Hàng 2 xếp hàng chưa vừa nên n không chia hết cho 2 nên n là số lẻ (1)

Hàng 3 vẫn thừa một con nên n chia 3 dư 1 (2)

Hàng 4 vẫn xếp chưa tròn nên n không chia hết cho 4 (3)

Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy nên \(\left( {n + 1} \right) \vdots 5\) (4)

Xếp thành hàng 7 đẹp thay nên \(n \vdots 7\) (5)

Từ (4) ta có \(n +  + 21 = \left( {n + 1} \right) + 20 \vdots 5\).

Từ (5) ta có \(n + 21 \vdots 7\). Do ƯCLN(5,7)=1 nên \(n + 21 \vdots BCNN\left( {5,7} \right)\) tức là \(n + 21 \vdots 35\).

Vì n < 200 nên n+21< 221, do đó \(n + 21 \in \left\{ {35;70;105;140;175;210} \right\}\)

Suy ra \(n \in \left\{ {14;49;84;119;154;189} \right\}\).

Từ (1) n là số lẻ nên \(n \in \left\{ {49;119;189} \right\}\)

Từ (2) ta suy ra n = 49.

Thử lại ta thấy đàn vịt có 49 con.