Câu hỏi 1 :
Điều kiện xác định của phương trình : \(x - \sqrt {3x + 9} = \sqrt {3 - x} + 3\)
- A x ≥ 3
- B -3 ≤ x ≤ 3
- C x = 3
- D \(x \ne 3.\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Đối với phương trình có căn thì điều kiện xác định \(\sqrt A \) là \(A \ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 9 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 3\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le 3.\)
Câu hỏi 2 :
Điều kiện xác định của phương trình : \(x - \sqrt {3x + 9} = \sqrt {3 - x} + 3\)
- A x ≥ 3
- B -3 ≤ x ≤ 3
- C x = 3
- D \(x \ne 3.\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Đối với phương trình có căn thì điều kiện xác định \(\sqrt A \) là \(A \ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 9 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 3\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le 3.\)
Câu hỏi 3 :
Với giá trị nào của m thì phương trình \(m(x - 1) = 5x + 2016\) có nghiệm duy nhất.
- A \(m \ne 2\)
- B \(m \ne 1\)
- C \(m \ne - 5\)
- D \(m \ne 5\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình bậc nhất \(ax + b = 0\) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0\). Và nghiệm duy nhất đó là \(x = - \frac{b}{a}.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}m(x - 1) = 5x + 2016\\ \Leftrightarrow mx - m - 5x - 2016 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)x - m - 2016 = 0\end{array}\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 5.\)
Chọn D
Câu hỏi 4 :
Với giá trị nào của m thì phương trình \(2{x^2} - 2016(m + 1)x + m - 3 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu
- A \(m < 2\)
- B \(m >1\)
- C \(m > - 5\)
- D \(m < 3\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm trái dấu\(\Leftrightarrow ac < 0.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình \(2{x^2} - 2016(m + 1)x + m - 3 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < 3.\)
Chọn D
Câu hỏi 5 :
Hàm số \(y = \sqrt {15 - 10x} + \frac{{2{x^2} + 3 - 5}}{{\sqrt {12x - 4} }}\) có tập xác định là:
- A \(\left( {\frac{1}{3};\left. {\frac{3}{2}} \right]} \right.\)
- B \(\left[ {\frac{1}{3};2} \right]\)
- C \(( - \infty ;\left. {\frac{1}{2}} \right]\)
- D \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)
Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}15 - 10x \ge 0\\12x - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x > \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left( {\frac{1}{3};\frac{3}{2}} \right].\)
Chọn A
Câu hỏi 6 :
Hàm số \(y = \sqrt {15 - 10x} + \frac{{2{x^2} + 3 - 5}}{{\sqrt {12x - 4} }}\) có tập xác định là:
- A \(\left( {\frac{1}{3};\left. {\frac{3}{2}} \right]} \right.\)
- B \(\left[ {\frac{1}{3};2} \right]\)
- C \(( - \infty ;\left. {\frac{1}{2}} \right]\)
- D \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)
Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}15 - 10x \ge 0\\12x - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x > \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left( {\frac{1}{3};\frac{3}{2}} \right].\)
Chọn A
Câu hỏi 7 :
Điều kiện phương trình \(\frac{{2{x^2} + 3x}}{{x + 2}} = \sqrt {x - 5} \)
- A \(x > 5\)
- B \(x \ge 5\)
- C \(x < 5\)
- D \(x > - 5,x \ne - 2\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)
Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ne 0\\x - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 5.\)
Chọn B
Câu hỏi 8 :
Điều kiện phương trình \(\frac{{2{x^2} + 3x}}{{x + 2}} = \sqrt {x - 5} \)
- A \(x > 5\)
- B \(x \ge 5\)
- C \(x < 5\)
- D \(x > - 5,x \ne - 2\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)
Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ne 0\\x - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 5.\)
Chọn B
Câu hỏi 9 :
Số nghiệm của phương trình \(x\sqrt {x - 2} = \sqrt {2 - x} \) là:
- A 0
- B 1
- C 2
- D 3
Đáp án: B
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình:
\(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0\)
\(\sqrt A \) xác định \(\Leftrightarrow A \ge 0.\)
- Áp dụng các phương pháp giải phương trình chứa căn.
\(A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B \ge 0\\{A^2} = B\end{array} \right.\)
\(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B \ge 0\\A = B\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\\x\sqrt {2 - x} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 2\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)
Kiểm tra khi x = 2 ta có: \(2\sqrt {2 - 2} = \sqrt {2 - 2} \Leftrightarrow 2.0 = 0\) (luôn đúng)
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chọn B
Câu hỏi 10 :
Phương trình \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) tương đương với phương trình:
- A \(x - 1 = 0\)
- B \(x + 1 = 0\)
- C \({x_1} = 1,{x_2} = - 1\)
- D \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Vì \({x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in R\) nên \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.\)
Chọn D
Câu hỏi 11 :
Phương trình \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) tương đương với phương trình:
- A \(x - 1 = 0\)
- B \(x + 1 = 0\)
- C \({x_1} = 1,{x_2} = - 1\)
- D \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Vì \({x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in R\) nên \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.\)
Chọn D
Câu hỏi 12 :
Phương trình \({m^2}x + 6 = 4x + 3m\) vô nghiệm khi:
- A \(m \ne 2\)
- B \(m = \pm 2\)
- C \(m = - 2\)
- D m = 2
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Phương trình dạng \(ax + b = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(a = 0\) và \(b \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
\({m^2}x + 6 = 4x + 3m \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x + 6 - 3m = 0\)
Để phương trình vô nghiệm thì
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\6 - 3m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2.\)
Chọn C
Câu hỏi 13 :
Phương trình \(\left( {{m^2} - 2m} \right)x = {m^2} - 3m + 2\) có nghiệm khi:
- A m = 0
- B m = 2
- C \(m \ne 0\) và \(m \ne 2\)
- D \(m \ne 0\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình dạng \(ax + b = 0) có nghiệm khi và chỉ khi
\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\\a \ne 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\left( {{m^2} - 2m} \right)x = {m^2} - 3m + 2 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m} \right)x - {m^2} + 3m - 2 = 0.\)
Khi a = 0 và b = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m = 0\\ - {m^2} + 3m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\) thì phương trình có vô số nghiệm.
Khi
\(a \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.,\) (vì \(m \ne 2\))
Vậy \(m \ne 0\)
Chọn D.
Câu hỏi 14 :
Với giá trị nào của m thì phương trình \(m\left( {x + 5} \right) - 2x = {m^2} + 6\) có tập nghiệm là R.
- A m = 2
- B \(m \ne \pm 2\)
- C m = 3
- D \(m = - 2\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình dạng \(ax + b = 0\) có tập nghiệm là R khi và chỉ khi :
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(m\left( {x + 5} \right) - 2x = {m^2} + 6 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x - {m^2} + 5m - 6 = 0\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\ - {m^2} + 5m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)
Chọn A
Câu hỏi 15 :
Phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có nghiệm khi:
- A \(m \le 1\)
- B \(m \ge 1\)
- C \(m \ge - 1\)
- D \(m \le - 1\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' = 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1.\)
Chọn A
Câu hỏi 16 :
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi:
- A \(m \in \emptyset \)
- B \(m > - 1\)
- C \(0 < m < 3\)
- D \(m \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P = \frac{{ - b}}{a} > 0\\S = \frac{c}{a} > 0\end{array} \right..\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) > 0\\\frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m} > 0\\\frac{{m - 3}}{m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m + 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Chọn D
Câu hỏi 17 :
Phương trình \({x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m = 0\) có 2 nghiệm và tích bằng 8 nếu:
- A m = 4
- B \(m = - 2\)
- C \(m = - 2,m = 4\)
- D Đáp án khác
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Phương trình bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm và tích bằng 8 khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = \frac{c}{a} = 8.\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m = 0\) có 2 nghiệm và tích bằng 8 khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = \frac{c}{a} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2m} \right) > 0\\\frac{{{m^2} - 2m}}{1} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + 9 > 0\\{m^2} - 2m - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{4}\\\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\)
Chọn B
Câu hỏi 18 :
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi:
- A \(m \ge - \frac{1}{2}\)
- B \( - \frac{1}{3} \le m \le 1\)
- C \(m \ge - \frac{1}{2},m \ne 0.\)
- D \(m > - \frac{1}{2},m \ne 0.\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)
Chọn D.
Câu hỏi 19 :
Giải phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\)
- A x = 1
- B x = 2
- C x = 4
- D x = 5
Đáp án: D
Phương pháp giải:
$\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right..$
Lời giải chi tiết:
\(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5.\)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.
Chọn D.
Câu hỏi 20 :
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{{x^2} - 16}} = \frac{2}{{\sqrt {3 - x} }}\) là:
- A \(x \ge 3\) và \(x \ne 4\)
- B x < 3 và \(x \ne - 4\)
- C \(x \le 3\) và \(x \ne - 4\)
- D x > 3 và \(x \ne 4\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Điều kiện xác định của \(\sqrt A \) là: \(A \ge 0\)
Điều kiện xác định của hàm phân thức \(\frac{B}{C}\) là \(C \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định của hàm số \(\frac{1}{{{x^2} - 16}} = \frac{2}{{\sqrt {3 - x} }}\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 16 \ne 0\\3 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 4\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x < 3\end{array} \right.\)
Chọn B
Câu hỏi 21 :
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{{x^2} - 16}} = \frac{2}{{\sqrt {3 - x} }}\) là:
- A \(x \ge 3\) và \(x \ne 4\)
- B x < 3 và \(x \ne - 4\)
- C \(x \le 3\) và \(x \ne - 4\)
- D x > 3 và \(x \ne 4\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Điều kiện xác định của \(\sqrt A \) là: \(A \ge 0\)
Điều kiện xác định của hàm phân thức \(\frac{B}{C}\) là \(C \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định của hàm số \(\frac{1}{{{x^2} - 16}} = \frac{2}{{\sqrt {3 - x} }}\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 16 \ne 0\\3 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 4\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x < 3\end{array} \right.\)
Chọn B
Câu hỏi 22 :
Phương trình \(- {x^2} - 2mx - m + 4 = 0\) có nghiệm bằng – 1 khi
- A \(m = - 3\)
- B m = 3
- C \(m = - 1\)
- D \(m = - 5\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình \( - {x^2} - 2mx - m + 4 = 0\) có nghiệm bằng – 1 thì – 1 phải thỏa mãn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Vì \(x = - 1\) là 1 nghiệm của phương trình nên \( - 1 + 2m - m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = - 3.\)
Chọn A.
Câu hỏi 23 :
Tập nghiệm của phương trình: \(\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1\)
- A {-1}
- B {2}
- C {-1; 2}
- D {\(\emptyset\)}
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+c\), điều kiện là \(\left\{ \begin{align} & f(x)\ge 0 \\ & g(x)\ge 0 \\\end{align} \right.\)
Khi đó: \(f(x)={{\left( g(x)+c \right)}^{2}}\), giải phương trình ta tìm được x.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\)
Khi đó: \(\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1\Leftrightarrow 3-x=x+2+1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow -2\text{x}=2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow -\text{x}=\sqrt{x+2}\)
Điều kiện \(-x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0\) \(\Rightarrow\) điều kiện của x là: \(-2\le x\le 0\)
Phương trình \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1\,\,\,(tm) \\ & x=2\,\,\,\,\,\,(ktm) \\\end{align} \right.\)
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = -1
Chọn A
Câu hỏi 24 :
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt{x-2}-\frac{x+5}{\sqrt{7-x}}=0\) là:
- A {2}
- B {\(\emptyset\)}
- C {7}
- D {2; 7}
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=\frac{g(x)}{\sqrt{h(x)}}\), điều kiện là \(\left\{ \begin{align} & f(x)\ge 0 \\ & h(x)>0 \\\end{align} \right.\)
+ Khi đó: \(\sqrt{f(x).h(x)}=g(x)\Leftrightarrow f(x).h(x)={{g}^{2}}(x)\), giải phương trình ta tìm được x
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 7\)
Phương trình \(\Leftrightarrow \sqrt{(x-2)(7-x)}=x+5\)\(\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+9\text{x}-14={{x}^{2}}+10\text{x}+25\)
\(\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}+x+39=0\) , có D = -311 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Chọn B.
Câu hỏi 25 :
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt{2x+\sqrt{6{{x}^{2}}+1}}=x+1\) bằng:
- A 1
- B -2
- C 2
- D 0
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Phương pháp:
+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)+\sqrt{g(x)}}=h(x)\), điều kiện là \(\left\{ \begin{align} & g(x)\ge 0 \\ & h(x)\ge 0 \\\end{align} \right.\)
+ Khi đó: \(f(x)+\sqrt{g(x)}={{h}^{2}}(x)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{g(x)} \right)}^{2}}={{\left( {{h}^{2}}(x)-f(x) \right)}^{2}}\), giải phương trình ta tìm được x
Lời giải chi tiết:
Lời giải:
Điều kiện: \(x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1\)
Phương trình\(\Leftrightarrow 2x+\sqrt{6{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+2\text{x}+1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {6{{\rm{x}}^2} + 1} = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + 1 = {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{{\rm{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\Rightarrow\) Tổng các nghiệm của phương trình là 0 + 2 = 2.
Chọn C.
Câu hỏi 26 :
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( x+3 \right)\sqrt{10-{{x}^{2}}}={{x}^{2}}-x-12\) là:
- A 1
- B 9
- C 0
- D -3
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+ Phương trình có dạng: \(f(x).\sqrt{g(x)}=h(x)\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\)
+ Đưa phương trình về dạng phương trình tích và giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(10-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{10}\le x\le \sqrt{10}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\sqrt {10 - {x^2}} = {x^2} - x - 12\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\sqrt {10 - {x^2}} = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {10 - {x^2}} - \left( {x - 4} \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\\sqrt {10 - {x^2}} = x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\10 - {x^2} = {x^2} - 8{\rm{x}} + 16\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\2{x^2} - 8{\rm{x}} + 6 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\Rightarrow\) Tổng các nghiệm của phương trình là: -3.
Chọn D.
Câu hỏi 27 :
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt{7-{{x}^{2}}+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2\text{x}-{{x}^{2}}}\) là:
- A 1
- B 3
- C 2
- D 0
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\) hoặc \(f(x)\ge 0\).
+ Khi đó: \(f(x)=g(x)\), giải phương trình ta tìm được x.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2x - {x^2} \ge 0\\x + 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 1\\x \ge - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1\)
Ta có:
\(\sqrt{7-{{x}^{2}}+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2\text{x}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 7-{{x}^{2}}+x\sqrt{x+5}=3-2\text{x}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x\sqrt{x+5}=-4-2\text{x}\)
TH1: x = 0, khi đó phương trình trở thành 0 = -4 (vô nghiệm)
TH2: \(x\in \left( -3;1 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow pt \Leftrightarrow \sqrt {x + 5} = - \frac{4}{x} - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\x + 5 = {\left( { - \frac{4}{x} - 2} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\x + 5 = \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{16}}{x} + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\{x^3} + {x^2} - 16x - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \pm 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\,\,\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm \(x=-1\).
Chọn A.
Câu hỏi 28 :
Cho phương trình\(x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+8\text{x}-7}+1\). Hiệu bình phương các nghiệm của phương trình là:
- A 41
- B 2
- C 3
- D 9
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+ Phân tích rồi nhóm nhân tử chung, đưa phương trình về dạng phương trình tích
+ Phương trình dạng\(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\,\,\,\left( f(x)\ge 0 \right)\), Bình phương 2 vế ta giải phương trình tìm được nghiệm
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\7 - x \ge 0\\ - {x^2} + 8x - 7 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 7\\1 \le x \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 7\)
Phương trình:
\(\begin{array}{l}x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x - 1} + \sqrt { - {x^2} + 8{\rm{x}} - 7} + 1\\ \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {7 - x} - 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {(7 - x)(x - 1)} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right) - \sqrt {7 - x} \left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt {7 - x} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = 2\\\sqrt {x - 1} = \sqrt {7 - x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\x - 1 = 7 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\Rightarrow\) Hiệu bình phương các nghiệm của phương trình là: \({{5}^{2}}-{{4}^{2}}={{3}^{2}}=9\)
Chọn D.
Câu hỏi 29 :
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt[3]{{x + 24}} + \sqrt {12 - x} = 6\)là:
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+ Phương trình có dạng: \(\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt {g(x)} = c\), điều kiện \(g(x) \ge 0\)
+ Đặt \(\sqrt[3]{{f(x)}} = u,\,\,\sqrt {g(x)} = v \Rightarrow \)Hệ phương trình chứa u và v.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(12 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 12\)
Đặt \(\sqrt[3]{{x + 24}} = u;\,\,\sqrt {12 - x} = v \Rightarrow \)Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^3} + {v^2} = 36\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) ta có v = 6 – u. Thay vào (2) ta được:
\({u^3} + {\left( {6 - u} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 12u = 0 \Leftrightarrow u\left( {{u^2} + u - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 3\\u = - 4\end{array} \right.\)
+) Với \(u = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 0 \Leftrightarrow x = - 24\,\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(u = 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 3 \Leftrightarrow x + 24 = 27 \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(u = - 4 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = - 4 \Leftrightarrow x + 24 = - 64 \Leftrightarrow x = - 88\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
Chọn C.
Câu hỏi 30 :
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 3} + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} = 4 - 2{\rm{x}}\) là:
- A 1
- B 4
- C 3
- D 2
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+ Phương trình có dạng: \(\alpha \left( {\sqrt {x - a} + \sqrt {x + b} } \right) + \beta \sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {x + b} \right)} = f(x)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - a \ge 0\\x + b \ge 0\\f(x) \ge 0\end{array} \right.\)
+ Đặt: \(\sqrt {x - a} + \sqrt {x + b} = t\,\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow \sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {x + b} \right)} \) theo t.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 3 \ge 0\\4 - 2{\rm{x}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge - 3\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\)
Đặt: \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 3} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 3} } \right)^2} = {t^2}\\ \Leftrightarrow x - 1 + x + 3 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} = {t^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} = {t^2} - 2{\rm{x}} - 2\end{array}\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t + {t^2} - 2{\rm{x}} - 2 = 4 - 2{\rm{x}} \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
+) Với t = 2 \( \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} = 2 - 2{\rm{x}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x \ge 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} + 2x - 3 = {x^2} - 2{\rm{x}} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm.
Chọn A.
Câu hỏi 31 :
Số nghiệm vô tỷ của phương trình \(\sqrt[3]{{3 - x}} + \sqrt {x - 1} = 2\) là:
- A 3
- B 0
- C 1
- D 2
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+ Phương trình có dạng: \(\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt {g(x)} = c\), điều kiện \(g(x) \ge 0\)
+ Đặt \(\sqrt[3]{{f(x)}} = u;\,\,\sqrt {g(x)} = v \Rightarrow \) Hệ phương trình chứa u và v.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Đặt \(\sqrt[3]{{3 - x}} = u\), \(\sqrt {x - 1} = v\) ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^3} + {v^2} = 2\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) ta có v = 2 – u. Thay vào (2) ta được: \({u^3} + {\left( {2 - u} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 4u + 4 = 2\)\( \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 4u + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {{u^2} + 2u - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u = - 1 - \sqrt 3 \\u = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)
+) Với \(u = 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = 1 \Leftrightarrow 3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2 \in Q\)
+) Với \(u = - 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = - 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 - x = {\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)^3} \Leftrightarrow x = 3 + {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^3} \notin Q\)
+) Với \(u = - 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = - 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 - x = {\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^3} \Leftrightarrow x = 3 + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^3} \notin Q\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm vô tỷ
Chọn D.
Câu hỏi 32 :
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 16} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} = 2\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4} \) là:
- A {0; -2}
- B {0}
- C {-2}
- D \(\left\{ \emptyset \right\}\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow \) Phương trình ẩn t
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 16 \ge 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} \ge 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 0\end{array} \right.\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2x \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2x\)
Phương trình trở thành: \(\sqrt {3{t^2} + 16} + t = 2\sqrt {{t^2} + 4} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{t^2} + 16 + {t^2} + 2t\sqrt {3{t^2} + 16} = 4{t^2} + 16\\ \Leftrightarrow 2t\sqrt {3{t^2} + 16} = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)
+) Với \(t = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {0 ; -2}
Chọn A
Câu hỏi 33 :
Tập nghiệm của phương trình \({x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)là:
- A \(\left\{ { - 2\sqrt 2 } \right\}\)
- B \(\left\{ \emptyset \right\}\)
- C \(\left\{ {2\sqrt 2 } \right\}\)
- D \(\left\{ { \pm 2\sqrt 2 } \right\}\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+ Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v\), đưa phương trình về dạng phương trình tích để tìm u, v
+ Thay giá trị u, v tìm được vào phương trình ban đầu suy ra x
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {x + 3} \right) - 9 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)
Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v\)
Phương trình trở thành:
\({u^2} + 3v - 9 = uv \Leftrightarrow {u^2} + 3v - 9 - uv = 0 \Leftrightarrow \left( {{u^2} - 9} \right) - v(u - 3) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 3} \right)\left( {u + 3 - v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\u + 3 - v = 0\end{array} \right.\)
+) Với u = 3\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 \)
+) Với u + 3 – v = 0\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + 3 - (x + 3) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = x \Leftrightarrow {x^2} + 1 = {x^2}\)(vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { \pm 2\sqrt 2 } \right\}\)
Chọn D.
Câu hỏi 34 :
Số nghiệm của phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = {x^2} - 2{\rm{x}} - 1\) là:
- A 3
- B 2
- C 1
- D 4
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+ Đặt \(\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = u\left( {u \ge 0} \right);1 - x = v\), đưa phương trình về dạng phương trình tích để tìm u, v
+ Thay giá trị u, v tìm được vào phương trình ban đầu tìm x
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = {x^2} - 2{\rm{x}} - 1 \Leftrightarrow 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} \right) + 4(1 - x) - 4\)
Đặt \(\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = u\left( {u \ge 0} \right);1 - x = v\)
Phương trình trở thành: \(2uv = {u^2} + 4v - 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u^2} - 4 + 4v - 2uv = 0 \Leftrightarrow \left( {{u^2} - 4} \right) - 2v(u - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 2} \right)\left( {u + 2 - 2v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\u + 2 - 2v = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với u = 2\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 5 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 6 \)
+) Với u + 2 – 2v = 0\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1}+ 2 - 2\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = - 2{\rm{x}}\)
Điều kiện \(x \le 0\)
Phương trình \( \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 1 = 4{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + 1 = 0\)(vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Chọn B
Câu hỏi 35 :
Cho hàm số \(y = \sqrt {2 - x} + \frac{x}{{x - 1}}\). Tập xác định của hàm số là:
- A \(\left( { - \infty ;2} \right]\).
- B \(\left[ {1;2} \right]\).
- C \(\left( { - \infty ;2} \right]{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\).
- D \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
Đáp án: C
Phương pháp giải:
\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\)
\(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ne 1\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số là: \(\left( { - \infty ;2} \right]{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\).
Chọn: C
Câu hỏi 36 :
Biết rằng phương trình \(\sqrt {21x + 190} = x + 10\) có hai nghiệm phân biệt là a và b. Tính \(P = ab\left( {a + b} \right)\).
- A \(P = 60\)
- B \(P = 90\)
- C \(P = - 60\)
- D \(P = - 90\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
\(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {21x + 190} = x + 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 10 \ge 0\\21x + 190 = {\left( {x + 10} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 10\\21x + 190 = {x^2} + 20x + 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 10\\{x^2} - x - 90 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 10\\\left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 9\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = 10.\left( { - 9} \right)\left( {10 - 9} \right) = - 90\end{array}\)
Chọn đáp án D.
Câu hỏi 37 :
Biết rằng phương trình \({x^3} - 2{x^2} - 8x + 9 = 0\) có ba nghiệm phân biệt, trong dó có đúng một nghiệm âm có dạng \(\frac{{a - \sqrt b }}{c}\) (với a, b, c là các số tự nhiên và phân số \(\frac{a}{c}\) tối giản). Tính \(S = a + b + c\).
- A \(S = 40\)
- B \(S = 38\)
- C \(S = 44\)
- D \(S = 42\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Phương trình có nghiệm \(x = 1\) nên có nhân tử \(\left( {x - 1} \right)\).
+) Đưa phương trình về dạng tích và giải.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} - 2{x^2} - 8x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} - x - 9 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{1 + \sqrt {37} }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt {37} }}{2} = \frac{{a - \sqrt b }}{c}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 37\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = 1 + 37 + 2 = 40\end{array}\)
Chọn đáp án A.
Câu hỏi 38 :
Cho phương trình \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) + 3\sqrt {x\left( {x - 3} \right)} = 0\). Khi đặt \(t = \sqrt {x\left( {x - 3} \right)} \) thì phương trình đã cho trở thanh phương trình nào sau đây?
- A \({t^2} + 3t - 10 = 0\)
- B \({t^2} + 3t + 10 = 0\)
- C \({t^2} - 3t - 10 = 0\)
- D \({t^2} - 3t + 10 = 0\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Khai triển \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) + 3\sqrt {x\left( {x - 3} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 + 3\sqrt {x\left( {x - 3} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 3\sqrt {x\left( {x - 3} \right)} - 10 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {x\left( {x - 3} \right)} \Rightarrow {t^2} = x\left( {x - 3} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} + 3t - 10 = 0\).
Chọn đáp án A.
Câu hỏi 39 :
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 2} = \sqrt {x - 2} \).
- A \(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\).
- B \(S = \left\{ 0 \right\}.\)
- C \(S = \left\{ 2 \right\}\).
- D \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ của phương trình
\(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow A = B\).
Lời giải chi tiết:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 1\end{array} \right.\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
\(\sqrt {{x^2} - x - 2} = \sqrt {x - 2} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}.\)
Chọn đáp án C.
Câu hỏi 40 :
Giải phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\)
- A \(S = \left\{ 5 \right\}\).
- B \(S = \left\{ 1\right\}\).
- C \(S = \left\{ 3 \right\}\).
- D \(S = \left\{ 9 \right\}\).
Đáp án: A
Phương pháp giải:
\(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Câu hỏi 41 :
Tìm tập xác định của phương trình \(\frac{{\sqrt {x + 1} }}{x} + 3{x^5} - 2017 = 0\)?
- A \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\)
- B \(\left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- C \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- D \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\)
\(\frac{1}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Chọn đáp án C.
Câu hỏi 42 :
Tìm phương trình tương đường với phương trình \(\frac{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\sqrt {x + 1} }}{{\left| x \right| - 2}} = 0\) trong các phương trình sau:
- A \(\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{\sqrt {x + 3} }} = 0\)
- B \(\sqrt x + \sqrt {2 + x} = 1\)
- C \({x^2} = 1\)
- D \({\left( {x - 3} \right)^2} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {x - 2} }}\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Hai phương trình được gọi là tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\(\frac{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\sqrt {x + 1} }}{{\left| x \right| - 2}} = 0\), ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\\left| x \right| - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)
\(\frac{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\sqrt {x + 1} }}{{\left| x \right| - 2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + x - 6 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1} \right\}\).
\(\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{\sqrt {x + 3} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\{x^2} + 4x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow S = \left\{ { - 1} \right\}\)
Chọn đáp án A.
Câu hỏi 43 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 6}}{{x - 2}} = \dfrac{{5x}}{{x - 2}}\) là :
- A 3
- B 2
- C 1
- D 0
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+) Tìm ĐKXĐ.
+) Quy đồng, bỏ mẫu, giải phương trình bậc hai.
+) Đối chiếu điều kiện.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ : \(x \ne 2\).
\(\dfrac{{{x^2} + 6}}{{x - 2}} = \dfrac{{5x}}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).
Chọn C.
Câu hỏi 44 :
Phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 1}} = 3\)?
- A \(3\left( {{x^2} + x} \right) = x + 1\)
- B \({x^2} - 2x - 3 = 0\)
- C \({x^2} + x = 3\)
- D \({x^2} + x = 0\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Nếu mọi nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) đều là nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) thì phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).
Ta có: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(x \ne - 1\) . Ta có: \(\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 1}} = 3 \Rightarrow {x^2} + x = 3x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\).
Chọn B.
Câu hỏi 45 :
Điều kiện của phương trình \(\sqrt {x - 1} = 2\) là:
- A \(x \ne 1\)
- B \(x \ne 3\)
- C \(x \ge 1\)
- D \(x \ge 3\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
\(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình \(\sqrt {x - 1} = 2\) là \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Chọn C.
Câu hỏi 46 :
Tập xác định của phương trình \(\frac{x}{{\sqrt {x - 3} }} + 4 = \sqrt {x + 2} \) là
- A \((3; + \infty )\)
- B \({\rm{[}}3; + \infty )\)
- C \(( - 2; + \infty )\)
- D \({\rm{[}} - 2; + \infty )\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)
Biểu thức \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3\)
Tập xác định : \(D = (3; + \infty )\)
Chọn A.
Câu hỏi 47 :
Điều kiện xác định của phương trình \(x + \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}\)là :
- A \(x \ge - 2\)
- B \(x > 1\)
- C \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x > 1\end{array} \right.\)
- D \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne 1\end{array} \right.\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Hàm số \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)
Hàm số \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \({x^2} + 1 > 0\) với mọi x \( \Rightarrow {x^2} + 1 \ne 0\) với mọi x
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{x^2} - 2x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\{\left( {x - 1} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne 1\end{array} \right..\)
Chọn D.
Câu hỏi 48 :
Phương trình nào sau đây vô nghiệm
- A \(x + \sqrt {x - 3} = 3 + \sqrt {x - 3} \)
- B \(x + \sqrt x = \sqrt x + 2\)
- C \(\sqrt {x - 4} + 2 = x + \sqrt {4 - x} \)
- D \(\sqrt {x - 2} \) = \(\sqrt {2 - x} \)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Dự đoán phương trình vô nghiệm và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy phương trình \(x + \sqrt {x - 3} = 3 + \sqrt {x - 3} \) có nghiệm \(x = 3\)
Phương trình \(x + \sqrt x = \sqrt x + 2\) có nghiệm \(x = 2\)
Phương trình \(\sqrt {x - 2} \) = \(\sqrt {2 - x} \) có nghiệm \(x = 2\)
Dự đoán đáp án C. \(\sqrt {x - 4} + 2 = x + \sqrt {4 - x} \)
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\)
Với \(x = 4\) phương trình thành \(2 = 4\) (vô lý) \( \Rightarrow \) Phương trình \(\sqrt {x - 4} + 2 = x + \sqrt {4 - x} \) vô nghiệm
Chọn C.
Câu hỏi 49 :
Điều kiện xác định của phương trình :\(x - 2\sqrt {x - 3} = 0\) là:
- A \(x \le 3\)
- B \(x \ge 3\)
- C \(x < 3\)
- D \(x > 3\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Hàm số \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định của phương trình \(x - 2\sqrt {x - 3} = 0\) là \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Chọn B.
Câu hỏi 50 :
Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt {x - 2} + \dfrac{{{x^2} + 5}}{{\sqrt {7 - x} }} = 0\) là:
- A \(x \ge 2\)
- B \(x < 7\)
- C \(2 \le x \le 7\)
- D \(2 \le x < 7\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+) \(\sqrt A \) xác định (có nghĩa) \( \Leftrightarrow A \ge 0\).
+) Phân thức xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x \ge 0\\\sqrt {7 - x} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 7\).
Chọn D.
Câu hỏi 51 :
Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình \(x + \dfrac{1}{x} = 1\)?
- A \({x^2} + \sqrt x = - 1\)
- B \(\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1} = 0\)
- C \(x\sqrt {x - 5} = 0\)
- D \(7 + \sqrt {6x - 1} = - 18\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Tìm tập nghiệm của từng phương trình sau đó kết luận, dựa vào định nghĩa: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình \(x + \dfrac{1}{x} = 1\) ta có:
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
\(pt \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0\) (vô nghiệm) \( \Rightarrow S = \emptyset \).
Xét phương trình \({x^2} + \sqrt x = - 1\,\,\left( {x \ge 0} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} + \sqrt x \ge 0 \Rightarrow VT > VP \Rightarrow \)Phương trình vô nghiệm \( \Rightarrow S = \emptyset \).
Xét phương trình \(\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1} = 0\,\,\left( {x \ge - \dfrac{1}{2}} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| \ge 0\\\sqrt {2x + 1} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1} \ge 0\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (vô lý) \( \Rightarrow S = \emptyset \).
Xét phương trình \(x\sqrt {x - 5} = 0\,\,\left( {x \ge 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt {x - 5} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow S = \left\{ {0;5} \right\}\).
Xét phương trình \(7 + \sqrt {6x - 1} = - 18\,\,\left( {x \ge \dfrac{1}{6}} \right)\) ta có \(\sqrt {6x - 1} \ge 0 \Leftrightarrow 7 + \sqrt {6x - 1} \ge 7 > - 18 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm \( \Rightarrow S = \emptyset \).
Vậy chỉ có phương trình \(x\sqrt {x - 5} = 0\) không tương đương với phương trình \(x + \dfrac{1}{x} = 1\) do chúng không cùng tập nghiệm.
Chọn C.
Câu hỏi 52 :
Phương trình \(x\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {x - 1} = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
- A 0
- B 1
- C 2
- D 3
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Phương trình dạng \(f\left( x \right)g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ : \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\).
Ta có \(x\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\).
Kết hợp ĐKXĐ ta có \(x = 1\).
Thử lại khi \(x=1\) ta có \(0=0\) (luôn đúng) \( \Rightarrow S = \left\{ 1 \right\}\).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
Chọn B.
Câu hỏi 53 :
Phương trình \(x + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có bao nhiêu nghiệm?
- A 0
- B 1
- C 2
- D 3
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Quy đồng 2 vế của phương trình sau đó bỏ mẫu và giải phương trình bậc hai.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).
\(\begin{array}{l}x + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 1} \right) + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\).
Chọn B.
Câu hỏi 54 :
Phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 6x - 9} + {x^3} = 27\) có bao nhiêu nghiệm?
- A 0
- B 1
- C 2
- D 3
Đáp án: B
Phương pháp giải:
\(\sqrt A \) xác định (có nghĩa) \( \Leftrightarrow A \ge 0\).
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0 \Leftrightarrow - {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\).
Ta có \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\).
Do đó \({\left( {x - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 3 \right\}\).
Chọn B.
Câu hỏi 55 :
Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:
- A \(x + 1 = {x^2} - 2x\) và \(x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2}\)
- B \(3x\sqrt {x + 1} = 8\sqrt {3 - x} \) và \(6x\sqrt {x + 1} = 16\sqrt {3 - x} \)
- C \(x\sqrt {3 - 2x} + {x^2} = {x^2} + x\) và \(x\sqrt {3 - 2x} = x\)
- D \(\sqrt {x + 2} = 2x\) và \(x + 2 = 4{x^2}\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Xét đáp án D ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {x + 2} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 0\\x + 2 = 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{8} \Rightarrow {S_1} = \left\{ {x = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{8}} \right\}\\x + 2 = 4{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8} \Rightarrow {S_2} = \left\{ {x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}} \right\}\end{array}\)
Do \({S_1} \ne {S_2}\) nên hai phương trình ở đáp án D không là hai phương trình tương đương.
Chọn D.
Câu hỏi 56 :
Phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả của phương trình \(\frac{{2x + 4}}{{2 - x}} = \frac{{ - {x^2} + 4}}{{x - 2}}?\)
- A \(\left( {5x + 6} \right)\left( {x - 4} \right) = {x^2}\left( {4 - x} \right).\)
- B \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0.\)
- C \({x^2} - 6x + 8 = 0.\)
- D \(\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( { - {x^2} + 4} \right).\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Khái niệm phương trình hệ quả: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right).\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ne 2.\)
\(\frac{{2x + 4}}{{2 - x}} = \frac{{ - {x^2} + 4}}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} - \frac{{2x + 4}}{{x - 2}} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 4 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4x - 8 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2;\,\,4} \right\}.\)
+) Xét đáp án A:
\(\begin{array}{l}\left( {5x + 6} \right)\left( {x - 4} \right) = {x^2}\left( {4 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 4} \right) + \left( {5x + 6} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\\x = - 3\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ { - 3;\,\, - 2;\,\,4} \right\}.\end{array}\)
+) Xét đáp án B:
\({\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow S = \left\{ 2 \right\}.\)
+) Xét đáp án C:
\({x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {2;\,\,4} \right\}.\)
\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
+) Xét đáp án D:
\(\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( { - {x^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}.\end{array}\)
Chọn A.
Câu hỏi 57 :
Phương trình tương đương với phương trình \({x^2} - 3x = 0\) là
- A \({x^2}\sqrt {x - 3} = 3x\sqrt {x - 3} .\)
- B \({x^2} + \frac{1}{{x - 3}} = 3x + \frac{1}{{x - 3}}.\)
- C \({x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1} .\)
- D \({x^2} + \sqrt {x - 2} = 3x + \sqrt {x - 2} .\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\)
+) Xét đáp án A: TXĐ: \(D = \left[ {3;\,\, + \infty } \right) \Rightarrow x = 0\) không thể là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.
+) Xét đáp án B: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\} \Rightarrow x = 3\) không thể là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.
+) Xét đáp án C: TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)
\({x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\)
Chọn C.
Câu hỏi 58 :
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{{x^2} + 3x}} = 0\) là:
- A \(x \ge - \frac{1}{2}.\)
- B \(x \ge - \frac{1}{2}\) và \(x \ne 0.\)
- C \(x \ne - 3\) và \(x \ne 0.\)
- D \(x \ge - \frac{1}{2}\) và \(x \ne - 3\).
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0;\) biểu thức \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{{x^2} + 3x}} = 0\) là \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\x\left( {x + 3} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right..\)
Chọn B.
Câu hỏi 59 :
Cho phương trình \(\frac{{16}}{{{x^3}}} + x - 4 = 0\). Giá trị nào sau đây của \(x\) là nghiệm của phương trình đã cho?
- A \(x = 2\)
- B \(x = 1\)
- C \(x = 3\)
- D \(x = 4\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Thay từng giá trị \(x\) đã cho vào phương trình và kiểm tra.
Lời giải chi tiết:
Với \(x = 2\) thì \(\frac{{16}}{{{2^3}}} + 2 - 4 = 0\) đúng nên \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Chọn A.
Câu hỏi 60 :
Phương trình \(\left| {2x - 3} \right| = 2 - 3x\) tương đương với phương trình nào sau đây?
- A \(\left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 2 - 3x\\2x - 3 = 3x - 2\end{array} \right..\)
- B \({\left( {2x - 3} \right)^2} = {\left( {2 - 3x} \right)^2}.\)
- C \(2x - 3 = 2 - 3x.\)
- D \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 3x \ge 0\\{\left( {2x - 3} \right)^2} = {\left( {2 - 3x} \right)^2}\end{array} \right..\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Giải phương trình: \(\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\{A^2} = {B^2}\end{array} \right..\)
Lời giải chi tiết:
\(\left| {2x - 3} \right| = 2 - 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 3x \ge 0\\{\left( {2x - 3} \right)^2} = {\left( {2 - 3x} \right)^2}\end{array} \right..\)
Chọn D.