40 bài tập Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số - Phương pháp giản đồ Frenen mức độ vận dụng

Lời giải chi tiết:

Đáp án D

+ Biên độ tổng hợp của hai dao động vuông pha  \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2}  = 17\,\,cm.\)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A

+ Biên độ tổng hợp của hai dao động \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } \)

Ta thấy rằng, khi \(\Delta \varphi  = \left( {2k + 1} \right)\pi \)→biên độ tổng hợp là nhỏ nhất \(A = \left| {{A_1} - {A_2}} \right| = \left| {12 - 16} \right| = 4cm\)

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Ta có x₂ = 4sin10πt = 4cos(10πt – π/2) cm

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Ta có x = x₁ + x₂, bấm máy

 \(4\sqrt 3 \angle 0 + 4\angle  - {\pi  \over 2}SHIFT23 = \)

Đọc kết quả \(8\angle  - {\pi  \over 6}\)

Vậy PT dao động tổng hợp của vật là  x = 8cos(10πt – π/6) cm                                  

Tại thời điểm t = 2 s vật có li độ x = 8cos(10π.2 – π/6) =\(4\sqrt 3 cm\)

Tốc độ dao động của vật khi đó là

 \(v = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}}  = 10\pi \sqrt {{8^2} - {4^2}.3}  = 40\pi cm/s = 125,7cm/s\)

Chọn D

Lời giải chi tiết:

Chọn đáp án A

+ Biên độ dao động tổng hợp của vật có khoảng giá trị \(\left| {{A_1} - {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2}\)

\( \to 4\,\,cm \le A \le 20\,\,cm\).

\( \to \) Biên độ tổng hợp có thể là \(A = 5\,\,cm.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Ta có x = x₁ + x₂, bấm máy

 \(\sqrt 3 \angle  - {\pi  \over 2} + 1\angle 0SHIFT23 = \)

Đọc kết quả  \(2\angle  - {\pi  \over 3}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là x = 2cos(20πt - π/3) rad

Chu kì dao động của vật T = 2π/ω = 0,1s

Ta có đường tròn lượng giác sau

Từ hình vẽ ta thấy rằng thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí x = - 1 cm theo chiều dương là t = 5T/6 = 1/12s

Đáp án B

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Ta có x = x₁ + x₂, bấm máy

 \(3\angle 0 + 2\angle  - {\pi  \over 3}SHIFT23 = \)

Đọc kết quả  \(\sqrt {19} \angle  - 0,4086\)

Vậy biên độ dao động tổng hợp là  \(\sqrt {19} cm\)

Năng lượng dao động của vật là  \({\rm{W}} = {1 \over 2}m{\omega ^2}{A^2} = {1 \over 2}.0,{1.20^2}{.19.10^{ - 4}} = 0,038J\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Ox là

 \(d = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\)

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Bấm máy  \(3\sqrt 3 \angle 0 - 3\angle  - {\pi  \over 2}SHIFT23 = \)

Đọc kết quả  \(6\angle {\pi  \over 6}\)

Vậy khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox là \(d = \left| {6\cos \left( {{{2\pi } \over 3}t + {\pi  \over 6}} \right)} \right|\)

Khi hai vật có cùng li độ, x₁ = x₂ => d = 0

Khi đó  \(\cos \left( {{{2\pi } \over 3}t + {\pi  \over 6}} \right) = 0 \Leftrightarrow {{2\pi } \over 3}t + {\pi  \over 6} = {\pi  \over 2} + k\pi (k \in Z)\)

 \(\Rightarrow {{2\pi } \over 3}t = {\pi  \over 3} + k\pi \left( {k \in Z} \right);{{2\pi } \over 3}t - {\pi  \over 2} =  - {\pi  \over 6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Thay vào phương trình  \({{\rm{x}}_1} =  \pm 1,5\sqrt 3 cm;{x_2} =  \pm 1,5\sqrt 3 cm\)

Do đó, li độ dao động tổng hợp là x = x₁ + x₂ = ±5,19cm

Chọn B

Phương pháp giải:

 Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

* Xác định PT dao động tổng hợp của vật

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Bấm máy \(2\angle {\pi  \over 2} + 2\angle  - \pi SHIFT23 = \) 

Đọc kết quả  \(2\sqrt 2 \angle {{3\pi } \over 4}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là  \({\rm{x}} = 2\sqrt 2 \cos \left( {\pi t + {{3\pi } \over 4}} \right)cm\)

PT vận tốc của vật là  \(v = x' =  - 2\sqrt 2 \pi \sin \left( {\pi t + {{3\pi } \over 4}} \right)cm/s\)

* Tính quãng đường vật đi trong khoảng thời gian 10,25s

Chu kì dao động của vật là T = 2π/ω = 2s

Như vậy 10,25s = 5T +0,25s

Quãng đường vật đi được S = 5.4A + s

Với  \({\rm{s}} = \int\limits_0^{0,25} {\left| v \right|dt}  = \int\limits_0^{0,25} {\left| { - 2\sqrt 2 \sin \left( {\pi t + {{3\pi } \over 4}} \right)} \right|dt} \)

Thoát máy tính khỏi chế độ số phức MODE 1

Bấm tích phân trên máy tính ta được kết quả s = 0,828 cm

Vậy quãng đường đi được của vật là: \(5.4.2\sqrt 2  + 0,828 = 57,39\,\,\left( {cm} \right)\)

Phương pháp giải:

 Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Bấm máy  \(5\angle {\pi  \over 3} + 5\angle 0{\rm{S}}HIFT23 = \)

Đọc kết quả  \(5\sqrt 3 \angle {\pi  \over 6}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là  \({\rm{x}} = 5\sqrt 3 \cos \left( {\pi t + {\pi  \over 6}} \right)cm\)

Thời điểm vật đi qua vị trí \({\rm{x}} = 5\sqrt 3 cm\) lần thứ 20 là

 \(t = 20T - {T \over {12}} = 39,83{\rm{s}}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

sử dụng phương pháp tổng hợp dao động và phương trình độc lập với thời gian

Lời giải chi tiết:

Dao động tổng hợp : x = x₁ + x₂

Nhận thấy hai dao động đề bài cho là hai dao động vuông pha nên \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \)

Biết khi \(v = 0,3\sqrt 6 m/s\) thì W_đ = 3W_t

\( \Leftrightarrow {1 \over 2}m.{v^2} = 3.{1 \over 2}.k.{x^2} \Leftrightarrow {{{v^2}} \over {3{x^2}}} = {k \over m} = {\omega ^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{{v^2}} \over {3{\omega ^2}}} = {9.10^{ - 4}} \Leftrightarrow x =  \pm {3.10^{ - 2}}m =  \pm 3cm\)

Do W_đ = 3W_t  nên W_t = ¼ W  \(\Leftrightarrow {1 \over 2}k.{x^2} = {1 \over 4}.{1 \over 2}.k.{A^2} \Leftrightarrow x =  \pm {A \over 2}\)

Vậy A = 6 cm mà \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \) nên  \({A_2} = \sqrt {{A^2} - A_1^2}  = \sqrt {{6^2} - {{4,8}^2}}  = 3,6cm\)

Phương pháp giải:

Tổng hợp vecto bằng phương pháp Freshnen

Lời giải chi tiết:

\({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2.{A_1}.{A_2}.\cos \left( {\Delta \varphi } \right) = A_1^2 + 36 + 12{A_1}.\cos ({120^0}) \Rightarrow {A^2} = A_1^2 + 36 - 6{A_1} = {({A_1} - 3)^2} + 27\)

\(A \ge \sqrt {27}  \Rightarrow {A_{\min }} = \sqrt {27}  \Leftrightarrow {A_1} = 3cm\)

Khi đó :\(\tan \varphi  = {{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}.\sin {\varphi _2}} \over {{A_2}.\cos {\varphi _1} + {A_2}.\cos {\varphi _2}}} = {{3.\sin {\pi  \over 6} + 6.\sin {{ - \pi } \over 2}} \over {3.\cos {\pi  \over 6} + 6.\cos {{ - \pi } \over 2}}} =  - \sqrt 3  \Rightarrow \varphi  =  - {\pi  \over 3}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giản đồ vecto và định lí hàm số sin trong tam giác

Lời giải chi tiết:

- Phương trình dao động của x; x₁; x₂: 

\(\left\{ \matrix{
x = 5\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) \hfill \cr
{x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\pi \over 3}} \right) \hfill \cr
{x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t - {\pi \over 4}} \right) \hfill \cr} \right.\)

Suy ra :

+ Độ lệch pha giữa x và x₁ là : \({\pi  \over 3} - \varphi \)

+ Độ lệch pha giữa x và x₂ là : \(\varphi  + {\pi  \over 4}\)

+ Độ lệch pha giữa x₁ và x₂ là : \({\pi  \over 3} - \left( { - {\pi  \over 4}} \right) = {{7\pi } \over {12}}\)

=> Ta có giản đồ vecto : 

- Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ta có: 

\(\eqalign{
& {A \over {\sin {{5\pi } \over {12}}}} = {{{A_1}} \over {\sin (\varphi + {\pi \over 4})}} = {{{A_2}} \over {\sin ({\pi \over 3} - \varphi )}} \to \left\{ \matrix{
{A_1} = {{A\sin \left( {\varphi + {\pi \over 4}} \right)} \over {\sin {{5\pi } \over {12}}}} \hfill \cr
{A_2} = {{A\sin \left( {{\pi \over 3} - \varphi } \right)} \over {\sin {{5\pi } \over {12}}}} \hfill \cr} \right. \cr
& \to {A_1} + {A_2} = {{A\sin \left( {\varphi + {\pi \over 4}} \right)} \over {\sin {{5\pi } \over {12}}}} + {{A\sin \left( {{\pi \over 3} - \varphi } \right)} \over {\sin {{5\pi } \over {12}}}} = {A \over {\sin {{5\pi } \over {12}}}}\left[ {\sin \left( {\varphi + {\pi \over 4}} \right) + \sin \left( {{\pi \over 3} - \varphi } \right)} \right] \cr} \)

- Có : \(sina + sinb{\rm{ }} = 2\sin {{a + b} \over 2}.c{\rm{os}}{{a - b} \over 2} \Rightarrow \sin \left( {\varphi  + {\pi  \over 4}} \right) + \sin \left( {{\pi  \over 3} - \varphi } \right) = 2\sin {{7\pi } \over {24}}c{\rm{os}}\left( {\varphi  - {\pi  \over {24}}} \right)\)

\( \Rightarrow {A_1} + {A_2} = 2A{{\sin {{7\pi } \over {24}}} \over {\sin {{5\pi } \over {12}}}}.c{\rm{os}}\left( {\varphi  - {\pi  \over {24}}} \right)\) 

Để [A₁ + A₂] đạt cực đại thì: \({\left[ {c{\rm{os}}\left( {\varphi  - {\pi  \over {24}}} \right)} \right]_{{\rm{max}}}} = 1 \Rightarrow \varphi  - {\pi  \over {24}} = k2\pi  \Rightarrow \varphi  = {\pi  \over {24}}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Phương trình dao động của các thành phần: x₁ = Acos(ωt + φ₁); x₂ = Acos(ωt + φ₂)

=> d = x₁ – x₂ = Acos(ωt + φ) với: \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}c{\rm{os}}\Delta \varphi } \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình dao động của mỗi vật là: x₁ = A₁cos(πt + π/3)cm, x₂ = 12cos(πt + 2π/3)cm.

Khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật: d = x₁ - x₂ = Acos(πt+φ).

Với:

\(\eqalign{
& A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}c{\rm{os}}\Delta \varphi } = \sqrt {A_1^2 + {{12}^2} - 2.12{A_1}c{\rm{os}}\left( {{{2\pi } \over 3} - {\pi \over 3}} \right)} \cr
& \Rightarrow {A^2} = A_1^2 - 12{A_1} + 144 = {\left( {{A_1} - 6} \right)^2} + 108 \cr} \)

 Ta có: \({\left( {{A_1} - 6} \right)^2} + 108 \ge 108 \Rightarrow A_{\min }^2 = 108 \Rightarrow {A_{\min }} = \sqrt {108}  = 6\sqrt 3 cm\)

Dấu “=” xảy ra khi: A₁ = 6cm

=> Đáp án D

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Ta có x = x₁ + x₂ + x₃ + x₄, bấm máy

 \(10\angle {\pi  \over 3} + 6\sqrt 3 \angle 0 + 4\sqrt 3 \angle  - {\pi  \over 2} + 10\angle {{2\pi } \over 3}SHIFT23 = \)

Đọc kết quả  \(6\sqrt 6 \angle {\pi  \over 4}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp là  \(x = 6\sqrt 6 \cos s\left( {20\pi t + {\pi  \over 4}} \right)cm\)

Chu kì dao động T = 2π/ω = 0,1s

Ta có đường tròn lượng giác

Từ hình vẽ ta thấy thời gian để vật đi qua vị trí \(x =  - 3\sqrt 6 cm\) lần thứ 9 là

 \(t = 4T + {T \over 8} + {T \over {12}} = 0,421{\rm{s}}\)

Chọn A

Lời giải chi tiết:

Xem hình 5.4G

Từ giản đồ Fre-nen ta thấy vecto \(\overrightarrow {OM} {\text{ }}\)nằm trên trục Oy

Suy ra : 

\(OM = 4cm;\varphi  = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow x = 4cos\left( {10\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)cm\)

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết về tổng hợp hai dao động cùng tần số 

Lời giải chi tiết:

* Khi hai dao động vuông pha với nhau thì ta có

 \(\sqrt {A_1^2 + A_2^2}  = 20(1)\)

* Khi hai dao động ngược pha nhau thì ta có

A₁ – A₂ = 15,6 (2)

Từ (1) và (2) ta giải ra được A₁ = 19,6 cm; A₂ = 4 cm

Biên độ dao động tổng hợp khi dao động cùng pha nhau là

A₁ + A₂ = 23,6 cm

Như vây biên độ dao động tổng hợp gần giá trị 24 cm nhất

Chọn A

Phương pháp giải:

tổng hợp vecto

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ sau:

Dễ thấy x₁₂ vuông pha với x₂₃vì  

\({\varphi _1} + \left| {{\varphi _2}} \right| = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}\)

Tam giác OAB vuông tại O, nên A₂cực tiểu khi nó là đường cao ứng với cạnh huyền BA. Khi đó ta có:

\(2\sqrt 3 .2 = {A_2}.\sqrt {{{(2\sqrt 3 )}^2} + {2^2}} = > {A_2} = \sqrt 3 = 1,732cm\)

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính casio

Lời giải chi tiết:

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Ta có x = x₁ + x₂, bấm máy

 \(\sqrt 3 \angle {\pi  \over 2} + 1\angle \pi SHIFT23 = \)

Đọc kết quả  \(2\angle {{2\pi } \over 3}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là x = 2cos(10πt + 2π/3) rad

Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động

 \({v_{tb}} = {s \over T} = {{4{\rm{A}}} \over T} = {{4.2} \over {{2 \over {10}}}} = 40cm/s\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Áp dụng giản đồ vectơ

Lời giải chi tiết:

Đáp án C

Ta có\(\overrightarrow A  = \overrightarrow {{A_1}}  + \overrightarrow {{A_2}} \). Từ GĐVT ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} + A_1^2 = A_2^2\\A = \frac{{{A_1} + {A_2}}}{2}\end{array} \right.\)=>A,A₁ và A₂ là bộ ba số pitago đặc biệt. Ta chọn A = 4, A₁ = 3 thì A₂ = 5 . \(\tan \alpha  = \frac{A}{{{A_1}}} = \frac{4}{3} =  > \alpha  = 53,{1^0} =  > \Delta \varphi  = {180^0} - \alpha  = 126,{9^0}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp: Áp dụng tổng hợp dao động điều hòa

Lời giải chi tiết:

Đáp án C

 \({x_1} = 3\cos \left( {\pi t + {{2\pi } \over 3}} \right)cm$$ và $${x_2} = 4\cos \left( {\pi t + \alpha } \right)\,cm\)

Biên độ dao động tổng hợp A = 5 cm khi hai dao động vuông pha:

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2}  =  > {{2\pi } \over 3} - \alpha  =  \pm {\pi  \over 2} =  > \alpha  = {{7\pi } \over 6}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính để tính phương trình dao động tổng hợp

Lời giải chi tiết:

Ta có x = x₁ + x₂ --> x₂ = x – x₁ = 3cos(πt - 5π/6) - 5cos(πt + π/6)=  8cos(πt - 5π/6) cm

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính biên độ tổng hợp: \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi } \) 

Lời giải chi tiết:

Thay số vào công thức ta thấy cos∆φ = -1 <=> ∆φ = (2k + 1)π

=> Hai dao động thành phần ngược pha

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí hàm số sin trong tam giác

Lời giải chi tiết:

\({9 \over {\sin {{30}^0}}} = {{{A_2}} \over {\sin \alpha }} - {{{A_1}} \over {\sin \left( {150 - \alpha } \right)}}\)

Để A_2max <=> sin(150 – α) = 1 <=> α = 60⁰

\( \Rightarrow {A_1} = {{9.\sin 60} \over {\sin 30}} = 9\sqrt 3 cm\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Để cho bài tập đơn giản ta coi thời điểm t đó chính là thời điểm đầu tiên t = 0, thay vào phương trình li độ dao động ta sẽ tính được pha ban đầu của hai dao động thành phần.

Sau đó dùng công thức tổng hợp dao động để tính ra biên độ tổng hợp cũng như pha ban đầu của dao động tổng hợp

Lời giải chi tiết:

A = 4cm; \({x_1} = 2\sqrt 3 cm;{v_1} < 0\) (chuyển động ngược chiều dương),

Giả sử:  t = 0 ta có: \({x_1} = A\cos {\varphi _1} \Rightarrow c{\rm{os}}{\varphi _1} = {{2\sqrt 3 } \over 4}\)

Vì v₁ < 0 nên φ₁ = π/6

Tương tự: x₂ = 0; v₂ > 0 (chuyển động qua VTCB theo chiều dương) => cosφ₂ = x₂/A = 0

Vì v₂ > 0 nên φ₂ = -π/2

Áp dụng công thức tính biên độ tổng hợp và pha ban đầu (có thể sử dụng máy tính bỏ túi)

Kết quả ta có A = 4cm; φ₁₂ = - π/6

Vậy: \({x_{12}}{\rm{ }} = {\rm{ }}4.cos{{ - \pi } \over 6} = 2\sqrt 3 \) đang đi theo chiều dương

 Chọn  D

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết về tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số

Lời giải chi tiết:

Ta biểu diễn dao động tổng hợp và các dao động thành phần trên giản đồ véc tơ

Từ giản đồ véc tơ ta thấy được PT của hai dao động thành phần là

 \({x_1} = 2\cos \left( {100\pi t + {\pi  \over 2}} \right)cm;{x_2} = 2\cos \left( {100\pi t - {\pi  \over 6}} \right)cm\)

=> Chọn đáp án A

Lời giải chi tiết:

Đáp án C

+ Từ đồ thị ta thấy rằng \({A_{12}} = 2{A_{23}}\)

Do đó: \({\left( {2a} \right)^2} + A_2^2 + 2\left( {2a} \right){A_2}\cos \left( {{\varphi _2}} \right) = 4\left[ {{{\left( a \right)}^2} + A_2^2 + 2a{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - \pi } \right)} \right]\).

Ta chú ý rằng \(\cos \left( {{\varphi _2} - \pi } \right) =  - \cos \left( {{\varphi _2}} \right)\)

Biến đổi toán học ta tìm được \(\cos \left( {{\varphi _2}} \right) =  - 0,5 \Rightarrow {\varphi _2} = {{2\pi } \over 3}\) rad.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Tổng hợp hai dao động điều hòa vuông pha nhau.

Lời giải chi tiết:

Đáp án B

+Biên độ tổng hợp: $$2A = \sqrt {{A^2} + {{\left( {\sqrt 3 A} \right)}^2}} $$ nên hai dao động thành phần vuông pha nhau.

Lời giải chi tiết:

Đáp án C

+  Dễ  dàng tính được: \(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 10\cos \left( {4\pi t + {{5\pi } \over 6}} \right)\). Bài toán khoảng cách quy về bài toán1 vật dao động qua vị trí cách vị trí cân bằng 5 cm. Tới đây ta giải bình thường

+  Trong 1chu kì hai chất điểm cách nhau 5cm sẽ có 4 vị trí  phù hợp trên đường tròn của d.

Tách:

\(\left\{ \matrix{ n = 2017 = 504.4 + 1 \hfill \cr t = 504.T + {t_0} \hfill \cr} \right.\)

Tại t = 0 \( =  > \Phi  = {{5\pi } \over 6}\).

Từ đường tròn xác định được: \(\Delta {\varphi _0} = {\pi  \over 2} =  > {t_0} = {T \over 4}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:

Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp: 

\(\eqalign{ & {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _2} - {\varphi _1}) \cr & tan\varphi = {{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}} \over {{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}} \cr} \)

 - Trường hợp đặc biệt:

+ 2 dao động cùng pha: dao động tổng hợp có biên độ A = A₁ + A₂, pha dao động là pha của 1 trong 2 hai dao động

+ 2 dao động ngược pha: dao động tổng hợp có biên độ A = A₁ - A₂, pha dao động là pha của dao động thành phần có biên độ lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{ {x_1} = 4c{\rm{os(10t + }}{\pi \over 4}) \hfill \cr {x_2} = 3c{\rm{os(10t - }}{{3\pi } \over 4}) \hfill \cr} \right.,\Delta \varphi = \pi \)

 => hai dao động ngược pha nhau => A = A₁ - A₂  => dao động tổng hợp : \(x = c{\rm{os(10t + }}{\pi  \over 4})cm\) 

=> Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng:  \({v_{{\rm{max}}}} = A\omega  = 1.10 = 10cm/s\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính casio.

Lời giải chi tiết:

Cài đặt máy tính ở chế độ số phức MODE 2

Ta có x₂ = x – x₁

Bấm máy  \(5\sqrt 3 \angle {\pi  \over 2} - 5\angle {\pi  \over 3}{\rm{S}}HIFT23 = \)

Đọc kết quả  \(5\angle {{2\pi } \over 3}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là  \({\rm{x}} = 5\cos \left( {6\pi t + {{2\pi } \over 3}} \right)cm\)

Ta có hình vẽ 

Từ hình vẽ ta thấy quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu dao động đến khi đi qua vị trí x = -2,5 theo chiều dương là 

\(s = {A \over 2} + A - {{A\sqrt 3 } \over 2} = 3,17cm\)

Khoảng thời gian  \(\Delta t = {T \over 4} = {1 \over {12}}s\)

Tốc độ trung bình trong khoảng thời gian trên là  \(v = {s \over t} = {{3,17} \over {{1 \over {12}}}} = 38,04cm/s\)

Chọn A

Lời giải chi tiết:

Đáp án C

+ Biểu diễn dao động của hai chất điểm tương ứng trên đường tròn.

+ Tại t = 0, hai chất điểm  ở  cùng một vị  trí → \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \bot Ox\) (ta không xét đến trường hợp t = 0, hai chất điểm ở  cũng một vị  trí và chuyển động cùng chiều, vì khi đó hai chất điểm  luôn chuyển động cùng nhau  ở  mọi thời điểm → không có khoảng cách lớn nhất như đề bài đưa ra).

+ Tại thời điểm t = Δt khoảng cách hai chất điểm là lớn nhất → (1)(2) song song với Ox → Δt = 0,25T → Δt = 0,5T.

→ Tốc độ  trung bình của chất điểm (2) trong nửa chu kì cũng chính bằng tốc độ trung bình của chất điểm (1) trong một chu kì vtb= 4 cm/s.

Phương pháp giải:

Ứng dụng vòng tròn lượng giác trong dao động điều hòa

Lời giải chi tiết:

Đáp án D           

+ Phương trình dao động tổng hợp \(x = {x_1} + {x_2} = 6\cos \left( {10\pi t + {\pi  \over 2}} \right)\,\,cm \to \) x sớm pha hơn x1 một góc 60.

+ Biểu diễn hai dao động trên đường tròn.

 Từ hình vẽ, ta có:  x = - 3 cm  

Phương pháp giải:

Phương pháp giải : Áp dụng phương trình dao động điều hòa tổng quát x = Acos(ωt + φ).

Lời giải chi tiết:

Đáp án B

Cách giải :

Phương trình tổng quát: x = Acos(ωt + φ).

+ Biên độ: A = 2 đơn vị chiều dài.

+ Tần số góc: ω = 1rad/s.

+ Pha ban đầu:\(\varphi  = {30^ \circ } = {\text{ }}\frac{\pi }{6}\) Vậy vec tơ quay \(\overrightarrow {OM} \)biểu diễn phương trình của dao động điều hòa \(x = 2cos(t + \frac{\pi }{6}).\)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A

Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng thì  ${x_2} = \frac{{{x_1} + {x_3}}}{2}$  hay x₃ = 2x₂ – x₁

→ Dao động của m₃ là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.

Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen:  ${\vec A_3} = 2{\vec A_2} + ( - {\vec A_1})$

Từ giản đồ suy ra:   A₃ = $\sqrt {{{(2{A_2})}^2} + A_1^2} $ = 3$\sqrt 2 $cm

Dễ thấy φ₃ = - π/4 rad  → x₃ = 3$\sqrt 2 $cos(20pt - $\frac{\pi }{4}$) (cm).

(hoặc dùng máy tính tổng hợp dao động ).

Lời giải chi tiết:

Đáp án D

+ Biểu diễn các phương trình về dạng cos:

\(\left\{ \matrix{
{x_1} = \sqrt 3 \cos \left( {20t} \right) \hfill \cr
{x_2} = 2\cos \left( {20t + {{5\pi } \over 6}} \right) \hfill \cr} \right.cm \to x = {x_1} + {x_2} = \cos \left( {20t + {\pi \over 2}} \right)cm\)

=> Phương trình hợp lực tác dụng lên vật \(F =  - kx =  - m{\omega ^2}x =  - 0,8\cos \left( {20t + {\pi  \over 2}} \right)N\)

=> Tại \(t = {\pi  \over {120}}s\),ta có F = 0,4 N.

Lời giải chi tiết:

Đáp án B

Phương trình dao động tổng hợp

  x = 6cos($\frac{{2\pi }}{3}$t -$\frac{\pi }{6}$ )  (cm); 3cos($\frac{{2\pi }}{3}$t -$\frac{\pi }{2}$ ) =3sin($\frac{{2\pi }}{3}$t )

x₁ = x₂ => 3cos($\frac{{2\pi }}{3}$t -$\frac{\pi }{2}$ ) = 3$\sqrt 3 $cos$\frac{{2\pi }}{3}$t 

=> tan$\frac{{2\pi }}{3}$t = $\sqrt 3 $ = tan$\frac{\pi }{3}$ => $\frac{{2\pi }}{3}$t  = $\frac{\pi }{6}$ + kp  ------>  t = $\frac{1}{4}$+$\frac{{3k}}{2}$

x = 6cos($\frac{{2\pi }}{3}$t -$\frac{\pi }{6}$ )  = x = 6cos[$\frac{{2\pi }}{3}$($\frac{1}{4}$+$\frac{{3k}}{2}$) -$\frac{\pi }{3}$ ]

=  6cos(kp - $\frac{\pi }{6}$) = ± 3$\sqrt 3 $ cm = ± 5,19 cm

Lời giải chi tiết:

Đáp án D

Từ đồ thị ta có

\(\left\{ \matrix{
{x_1} = 8\cos (\pi t)(cm) \hfill \cr
{x_2} = 6.cos\left( {\pi t + {\pi \over 3}} \right)cm \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{v_1} = - 8\pi \sin \pi t(cm/s) \hfill \cr
{x_2} = - 6\pi .sin\left( {\pi t + {\pi \over 3}} \right)(cm/s) \hfill \cr} \right.\)

Vận tốc tương đối của vật 1 đối với vật 2 : v₁₂ = v₁ – v₂

Dùng vectơ quay ta có :

\(\eqalign{
& v_{12max}^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2{v_1}.{v_2}.\cos {\pi \over 3} = {\left( {8\pi } \right)^2} + {\left( {6\pi } \right)^2} + 2.8.6\cos {\pi \over 3} \cr
& = > {v_{12max}} = 2\pi \sqrt {13} \,(cm/s) \approx 22,65\left( {cm/s} \right) \cr} \)

Phương pháp giải:

+ Sử dụng biểu thức tính biên độ dao động tổng hợp: \({{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}cos\left( \Delta \varphi  \right)\)

+ Động năng dao cực đại của vật: \({{\text{W}}_{{{d}_{max}}}}=\text{W}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({{x}_{1}}=5cos\left( 10t+\frac{\pi }{3} \right)cm\)

\({{x}_{2}}=5cos\left( 10t-\frac{\pi }{6} \right)cm\)

Độ lệch pha giữa hai dao động: \(\Delta \varphi =\frac{\pi }{3}-\left( -\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\pi }{2}rad\)

=> Hai dao động vuông pha nhau

=> Biên độ dao động tổng hợp: \(A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}cm\)

+ Động năng dao động cực đại của vật:

\({{\text{W}}_{{{d}_{max}}}}=\text{W}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}=\frac{1}{2}{{.0,1.10}^{2}}.\left( 5\sqrt{2}{{.10}^{-2}} \right)=0,025J=25mJ\)

Phương pháp giải:

Vẽ giản đồ vec tơ nối đuôi biển diễn các dao động thành phần và tổng hợp dao động của chúng.

φ₁ – φ₃ = π (rad nên hai vec tơ biểu diễn x₁ và x₃ ngược chiều nhau.

Áp dụng định lí hàm số cos trong tam giác: a² = b² + c² – 2bccosα

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí hàm số cos trong tam giác: (3A₁)² = 2² + 4² -2.2.4.cos(30⁰)

\(\Rightarrow {{A}_{1}}=\frac{\sqrt{12}}{3}cm\)

\({{4}^{2}}={{2}^{2}}+9A_{1}^{2}-2.2.3{{A}_{1}}\text{cosOMN}\Rightarrow \text{OMN = }{{90}^{0}}\)

A₂² = 2² + A₁² – 2.2.A₁.cosOMN

\(\Rightarrow {{A}_{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}cm\)

Chỉ đáp án B có biên độ dao động đúng.

Phương pháp giải:

Vật dao động điều hòa được biểu diễn trên đường tròn có bán kính là biên độ dao động

Khoảng cách giữa hai chất điểm dao động điều hòa x = |x₁-x₂|, là một biểu thức dao động điều hòa. Vì vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là biên độ của dao động x.

Công thức biên độ dao động tổng hợp: \(A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\text{cos}\Delta \varphi }\)

Lời giải chi tiết:

+ Do A₁ = 2a nên thời điểm ban đầu chất điểm qua vị trí x = a theo chiều âm thì pha ban đầu là π/3

+ Do A₂ = a nên thời điểm ban đầu chất điểm qua vị trí x = -a/2 theo chiều dương thì pha ban đầu là – π/3

Phương trình dao động của hai chất điểm là

            x₁ = 2acos(ωt + π/3)    và        x₂ = acos(ωt - 2π/3)

Khoảng cách giữa hai chất điểm là

x = x₁ – x₂ = 2acos(ωt + π/3) + acos(ωt - 2π/3) = acos(ωt + π/3)

Khoảng cách giữa hai chất điểm lớn nhất khi x có tọa độ a ở thời điểm T/3

Chọn D