Câu hỏi 1 :
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\) và tâm sai \(e = {1 \over 5}\) là:
- A \({{{x^2}} \over {24}} + {{{y^2}} \over {25}} = 1\)
- B \({{{x^2}} \over {24}} + {{{y^2}} \over {25}} = - 1\)
- C \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {24}} = 1\)
- D \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {24}} = - 1\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\).
Elip có 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\). Elip có tiêu cự bằng \(2c\) và ta cũng có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).Lời giải chi tiết:
Elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\) suy ra \(c = 1\)
Elip có tâm sai \(e = {1 \over 5}\) suy ra \({c \over a} = {1 \over 5} \Rightarrow a = 5\)
Mặt khác ta có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24\)
Vậy elip có phương trình là \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {24}} = 1\)
Đáp án: C
Câu hỏi 2 :
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\), tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) là:
- A \({{{x^2}} \over 7} + {{{y^2}} \over 2} = 1\)
- B \({{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
- C \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
- D \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\).
Elip có 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) Elip có tiêu cự bằng \(2c\) và ta cũng có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).Lời giải chi tiết:
Elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\) suy ra \(b = 2\).
Elip có tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) suy ra \(c = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \).
Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\).
Vậy elip có dạng \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\).
Đáp án: D
Câu hỏi 3 :
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\), tâm sai \(e = {3 \over 5}\).
- A \({{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\).
- B \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)
- C \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1\)
- D \({{{x^2}} \over {36}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\)
Elip có 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) Tâm sai \(e = {c \over a}\) và ta có \({a^2} - {c^2} = {b^2}\)Lời giải chi tiết:
Elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\) suy ra \(b = 4\).
Tâm sai \(e = {3 \over 5}\) suy ra ta có \({c \over a} = {3 \over 5}\). Vì \(a,c > 0\) nên ta có \({{{c^2}} \over {{a^2}}} = {9 \over {25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0\)
Mặt khác ta có \({a^2} - {c^2} = {b^2} = 16\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ 9{a^2} - 25{c^2} = 0 \hfill \cr {a^2} - {c^2} = 16 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = 25 \hfill \cr {c^2} = 9 \hfill \cr} \right.\).
Vậy phương trình của elip là: \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1\)
Đáp án: C
Câu hỏi 4 :
Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là \(A(2;0)\) và đi qua \(M( - 1;{{\sqrt 3 } \over 2})\) là:
- A \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
- B \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 2} = 1\)
- C \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
- D \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\).
Elip có 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) Elip đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) tức là ta có \({{x_0^2} \over {{a^2}}} + {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1\)Lời giải chi tiết:
Elip có đỉnh là \(A(2;0)\) suy ra \(a = 2\). Phương trình elip cần tìm có dạng \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M( - 1;{{\sqrt 3 } \over 2})\) nên ta có \({1 \over 4} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)
Vậy elip có phương trình là \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
Đáp án: A
Câu hỏi 5 :
Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \(M(2\sqrt 2 ;{1 \over 3})\) và \(N(2;{{\sqrt 5 } \over 3})\) là:
- A \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
- B \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
- C \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
- D \({{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\).
Chú ý: Elip đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) tức là ta có \({{x_0^2} \over {{a^2}}} + {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình elip cần tìm có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M\left( {2\sqrt 2 ;{1 \over 3}} \right)\) nên ta có \({8 \over {{a^2}}} + {1 \over {9{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(N\left( {2;{{\sqrt 5 } \over 3}} \right)\) nên ta có \({4 \over {{a^2}}} + {5 \over {9{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ {8 \over {{a^2}}} + {1 \over {9{b^2}}} = 1 \hfill \cr {4 \over {{a^2}}} + {5 \over {9{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = 9 \hfill \cr {b^2} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
Đáp án: C
Câu hỏi 6 :
Cho Elip \((E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400\). Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({60^0}\) có tọa độ là:
- A \({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right)\)
- B \({M_1}\left( {\sqrt {{{25} \over {27}}} ;\sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{25} \over {27}}} ; - \sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{25} \over {27}}} ; - \sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{25} \over {27}}} ;\sqrt {{{26} \over {27}}} } \right)\)
- C \({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over 7}} ;\sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over 7}} ; - \sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over 7}} ; - \sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over 7}} ;\sqrt {{{256} \over 7}} } \right)\)
- D \({M_1}\left( {\sqrt {{{25} \over 7}} ;\sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{25} \over 7}} ; - \sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{25} \over 7}} ; - \sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{25} \over 7}} ;\sqrt {{{26} \over 7}} } \right)\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đưa phương trình elip về dạng chính tắc.
Xác định các hệ số a, b, c.
Sử dụng các công thức \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c\)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400\).
\((E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 4\)
Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow c = 3\)
\({F_1}{F_2} = 2c = 6\)
\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {3 \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {3 \over 5}{x_0}\)
Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({60^0}\( \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}\)
Áp dụng định lý Côsin, ta có: \({F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^0}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {6^2} = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)\cos {60^0} \cr & \Leftrightarrow 36 = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right).{1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 36 = 25 + 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} - 25 + {{9{x_0}^2} \over {25}} \cr & \Leftrightarrow {{27{x_0}^2} \over {25}} = 11 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{275} \over {27}} \Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt {{{275} \over {27}}} \cr} \)
Ta có: \(16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow 16.{{275} \over {27}} + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{256} \over {27}} \Leftrightarrow {y_0} = \pm \sqrt {{{256} \over {27}}} \)
Vậy, các điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:
\({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right)\)
Chọn: A
Câu hỏi 7 :
Cho Elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\). Tọa độ điểm \(M \in (E)\) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {120^0}\) là:
- A \({M_1}\left( {\sqrt {\frac{{75}}{7}} ;\sqrt {\frac{6}{7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {\frac{{75}}{7}} ; - \frac{6}{7}} \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {\frac{{75}}{7}} ;\sqrt {\frac{6}{7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {\frac{{75}}{7}} ; - \sqrt {\frac{6}{7}} } \right)\)
- B \({M_1}\left( {\sqrt {{5 \over 7}} ;\sqrt {{6 \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{5 \over 7}} ; - \sqrt {{6 \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{5 \over 7}} ;\sqrt {{6 \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{5 \over 7}} ; - \sqrt {{6 \over 7}} } \right)\)
- C \({M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over {17}}} ;\sqrt {{{16} \over {17}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over {17}}} ; - \sqrt {{{16} \over {17}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over {17}}} ;\sqrt {{{16} \over {17}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over {17}}} ; - \sqrt {{{16} \over {17}}} } \right)\)
- D \({M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ;\sqrt {{{16} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ; - \sqrt {{{16} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ;\sqrt {{{16} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ; - \sqrt {{{16} \over 7}} } \right)\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Xác định các hệ số a, b, c.
Sử dụng các công thức \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c\)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\).
\((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 5,\,b = 2\)
Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {2^2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt {21} \)
\({F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {21} \)
\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}\)
Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({120^0} \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {120^0}\)
Áp dụng định lý Côsin, ta có: \({F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {120^0}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {21} } \right)^2} = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\cos {120^0} \cr & \Leftrightarrow 84 = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right).{{ - 1} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 84 = 25 + 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - {{21{x_0}^2} \over {25}} \cr & \Leftrightarrow {{21{x_0}^2} \over {25}} = 9 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{75} \over 7} \Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt {{{75} \over 7}} \cr} \)
Ta có: \({{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Rightarrow {{{{75} \over 7}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{16} \over 7} \Leftrightarrow {y_0} = \pm {4 \over {\sqrt 7 }}\)
Vậy, có 4 điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:
\({M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right)\)
Chọn: D.
Câu hỏi 8 :
Cho elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {y^2} = 1\) và điểm \(C(2;0)\). Tìm tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) trên (E) sao cho \(ABC\) là tam giác đều, biết rằng A và B đối xứng nhau qua Ox.
- A \(A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt {31} } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt {31} } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt {31} } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt {31} } \over 7}} \right)\)
- B \(A\left( {{{12} \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{{12} \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{{12} \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{{12} \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\)
- C \(A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\)
- D \(A\left( {{2 \over 7};{{\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7}; - {{\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7};{{\sqrt 3 } \over 7}} \right)\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Lấy \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)\), xác định điểm B đối xứng với A qua Ox.
Tam giác ABC đều \( \Leftrightarrow AB = AC\), giải phương trình tìm \({x_0};{y_0}\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\).
Ta có: \(A{B^2} = 4{y_0}^2,\,\,\,A{C^2} = {({x_0} - 2)^2} + {y_0}^2\)
Vì \(A \in \left( E \right) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {y_0}^2 = 1 \Rightarrow {y_0}^2 = 1 - {{{x_0}^2} \over 4}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \(AB = AC \Rightarrow {({x_0} - 2)^2} + {y_0}^2 = 4{y_0}^2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được :
\(7{x_0}^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = 2 \hfill \cr {x_0} = {2 \over 7} \hfill \cr} \right.\)
Với \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0\,\,(L)\) vì trùng với điểm C.
Với \({x_0} = {2 \over 7} \Rightarrow {y_0} = \pm {{4\sqrt 3 } \over 7}\).
Vậy, \(A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\).
Chọn: C.
Câu hỏi 9 :
Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng \(D:\,\,x - 2y + 12 = 0\). Tọa độ điểm \(M \in (E)\) sao cho khoảng cách từ M đến D lớn nhất là:
- A \(M\left( { - \frac{{25}}{{18}}\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} ;\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} } \right)\)
- B \(M\left( { - \frac{{5\sqrt {29} }}{{108}};\frac{{\sqrt {29} }}{6}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{{5\sqrt {29} }}{{108}}; - \frac{{\sqrt {29} }}{6}} \right)\)
- C \(M\left( {\frac{{25}}{{18}}\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} ; - \sqrt {\frac{{324}}{{661}}} } \right)\)
- D \(M\left( { - \frac{{25\sqrt {299} }}{{108}};\frac{{\sqrt {299} }}{6}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{{25\sqrt {299} }}{{108}}; - \frac{{\sqrt {299} }}{6}} \right)\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)\), tính \(d\left( {M;\left( D \right)} \right) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)
Sử dụng các bất đẳng thức \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a.b \ge 0\) và BĐT Bunhia-copxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {a \over x} = {b \over y}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1\).
Khoảng cách từ M đến D:
\(\eqalign{ & d(M,D) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt 5 }} \le {{\left| {{x_0} - 2{y_0}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\left| {5.{{{x_0}} \over 5} + \left( { - 6} \right){{{y_0}} \over 3}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} \le {{\sqrt {({5^2} + {6^2})\left( {{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9}} \right)} + 12} \over {\sqrt 5 }} \cr & = {{\sqrt {(25 + 36).1} + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {61} + 12} \over {\sqrt 5 }} \cr} \).
Vậy,
\(d{(M,D)_{\max }} = {{\sqrt {61} + 12} \over {\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {{x_0} - 2{y_0}} \right).12 \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {{{{{x_0}} \over 5}} \over 5} = {{{{{y_0}} \over 3}} \over { - 6}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr 18{x_0} + 25{y_0} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{{\left( { - {{25} \over {18}}{y_0}} \right)}^2}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0}^2 = {{324} \over {661}} \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0} = \pm \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {x_0} = - {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {y_0} = \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr} \right.\,\,(L) \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_0} = {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {y_0} = - \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr} \right.\,\,(TM) \hfill \cr} \right.\)
Khi đó, \(M\left( {{{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} ; - \sqrt {{{324} \over {661}}} } \right)\)
Chọn: C
Câu hỏi 10 :
Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - \sqrt 2 y + 2 = 0\). Đường thẳng D cắt (E) tại 2 điểm B và C. Tọa độ điểm A trên (E) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất là:
- A \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\)
- B \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\) hoặc \(A\left( { - 2;\sqrt 2 } \right)\)
- C \(A\left( {2; - \sqrt 3 } \right)\)
- D \(A\left( {2; - \sqrt 3 } \right)\) hoặc \(A\left( { - 2;\sqrt 3 } \right)\)
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.d(A;BC).BC = {1 \over 2}d(A,\Delta ).BC\)
Nhận xét: \({S_{ABC}}\) đạt GTLN khi và chỉ khi \(d(A;\Delta )\) lớn nhất.
\(A({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,\,{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\).
Khoảng cách từ A đến D:
\(\eqalign{ & d(A,\Delta ) = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt 3 }} \le {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {2\sqrt 2 .{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }} + \left( { - 2\sqrt 2 } \right).{{{y_0}} \over 2}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }} \cr & \le {{\sqrt {\left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\left( {{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4}} \right)} + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt {16.1} + 2} \over {\sqrt 3 }} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \cr} \)
\(\eqalign{ & d{(A;\Delta )_{{\rm{Max}}}} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right).2 \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {{{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }}} \over {2\sqrt 2 }} = {{{{{y_0}} \over 2}} \over { - 2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {{2{y_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0}^2 = 2 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0} = \pm \sqrt 2 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {x_0} = 2 \hfill \cr {y_0} = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\,(TM) \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_0} = - 2 \hfill \cr {y_0} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.(L) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Khi đó, \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\)
Chọn: A
Câu hỏi 11 :
Cho elip \((E):13{x^2} + 16{y^2} = 208\). Tìm tọa độ các điểm A, B trên (E) và đối xứng nhau qua Ox (điểm A có tung độ dương) sao cho \(AB{F_1}\) là tam giác đều.
- A \(A\left( {{{\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( {{{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\)
- B \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).
- C \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( {{{4\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{4\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).
- D \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{3 \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {3 \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( {{{4\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{4\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Gọi \(A({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\left( {{y_0} > 0} \right)\), xác định điểm B đối xứng với A qua trục Ox.
Tam giác \(AB{F_1}\) đều \( \Leftrightarrow AB = A{F_1}\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(A({x_0};{y_0}),\,\,{y_0} > 0\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\).
\((E):13{x^2} + 16{y^2} = 208 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over {13}} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = \sqrt {13} \Rightarrow c = \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\)
Ta có: \(A{B^2} = 4{y_0}^2,\,\,\,A{F_1}^2 = {\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + {y_0}^2\)
Vì \(A \in \left( E \right) \Rightarrow 13{x_0}^2 + 16{y_0}^2 = 208 \Rightarrow {y_0}^2 = 13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2\,\,(1)\)
Vì tam giác \(AB{F_1}\) là tam giác đều \( \Rightarrow AB = A{F_1} \Rightarrow {\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + {y_0}^2 = 4{y_0}^2\,\,\,(2)\)
Thay (1) vào (2) ta được : \({\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + 13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2 = 4\left( {13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2} \right) \Leftrightarrow {{55} \over {16}}{x_0}^2 + 2\sqrt 3 {x_0} - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = {{8\sqrt 3 } \over 5} \hfill \cr {x_0} = {{ - 24\sqrt 3 } \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
+) \({x_0} = {{8\sqrt 3 } \over 5} \Rightarrow \left[ \matrix{ {y_0} = {{13} \over 5} \hfill \cr {y_0} = - {{13} \over 5}\,(L) \hfill \cr} \right. \Rightarrow A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\)
+) \({x_0} = {{ - 24\sqrt 3 } \over {11}} \Rightarrow \left[ \matrix{ {y_0} = {{13} \over {11}} \hfill \cr {y_0} = - {{13} \over {11}}\,(L) \hfill \cr} \right. \Rightarrow A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\)
Vậy, \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).
Chọn: B.
Câu hỏi 12 :
Phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 16 và trục lớn bằng 20 là:
- A \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
- B \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
- C \(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
- D \(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)
Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\)
Lời giải chi tiết:
Elip có tiêu cự bằng \(16 \Rightarrow 2c = 16 \Rightarrow c = 8\)
Elip có trục lớn bằng \(20 \Rightarrow 2a = 20 \Rightarrow a = 10.\)
\( \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {10^2} - {8^2} = 36\)
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
Chọn A.
Câu hỏi 13 :
Lập phương trình \(\left( E \right)\) qua \(M\left( {0;3} \right)\) và có \({F_2}\left( {4;0} \right)\).
- A \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
- B \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
- C
\(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
- D \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
* Giả sử \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \(M \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 9\,\,\left( 1 \right)\).
* \({F_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4 \Rightarrow {c^2} = 16 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 16\,\,\left( 2 \right)\)
* Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 9\\{a^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Chọn A.
Câu hỏi 14 :
Lập phương trình \(\left( E \right)\) qua \(M\left( {4;0} \right)\) và \(N\left( {0;3} \right)\).
- A \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
- B \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
- C \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)
- D \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
* Giả sử \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(\begin{array}{l}*\,\,M \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{{16}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 16\,\,\left( 1 \right)\\*\,\,N \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 9\,\,\left( 2 \right)\end{array}\).
Chọn B.
Câu hỏi 15 :
Lập phương trình \(\left( E \right)\) biết trục lớn bằng 16 và \(e = \dfrac{5}{8}\).
- A \(\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
- B \(\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{49}} = 1\)
- C \(\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{39}} = 1\)
- D \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Đáp án: C
Lời giải chi tiết:
* Trục lớn bằng 16 \( \Rightarrow 2a = 16 \Rightarrow a = 8\).
* \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{8}\). Với \(a = 8 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow {c^2} = 25\).
\( \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 25 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - 25 = 64 - 25 = 39\).
* Phương trình \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{39}} = 1\).
Chọn C.
Câu hỏi 16 :
Lập phương trình \(\left( E \right)\) có một đỉnh trục lớn là \(A\left( {4;0} \right)\) và có \(e = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\).
- A \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
- B \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
- C \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)
- D \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
* Trục lớn có đỉnh \(A\left( {4;0} \right)\) \( \Rightarrow a = 4 \Rightarrow {a^2} = 16\) (1).
* \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\). Với \( = 4 \Rightarrow c = \sqrt 7 \Rightarrow {c^2} = 7\).
\( \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 7 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - 7 = 9\).
* Phương trình \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Chọn B.
Câu hỏi 17 :
Lập phương trình \(\left( E \right)\) biết trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4.
- A \(\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
- B \(\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)
- C \(\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
- D \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
* Trục bé bằng 8 \( \Rightarrow 2b = 8 \Rightarrow b = 4 \Rightarrow {b^2} = 16\).
* Tiêu cự bằng 4 \( \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow {c^2} = 4\)
\( \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 4 \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 4 = 20\).
* Phương trình \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Chọn A.
Câu hỏi 18 :
\(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1\). Tìm \(M \in \left( E \right)\), \(M\) có tọa độ dương và thỏa mãn \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\).
- A \(\left( {\sqrt {\dfrac{{523}}{{23}}} ;\sqrt {\dfrac{4}{{23}}} } \right)\)
- B \(\left( {\sqrt {\dfrac{1}{{23}}} ;\sqrt {\dfrac{4}{{23}}} } \right)\)
- C \(\left( {\sqrt {\dfrac{6}{{23}}} ;\sqrt {\dfrac{{21}}{{23}}} } \right)\)
- D \(\left( {5;4} \right)\)
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
* \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 2 = 23 \Rightarrow c = \sqrt {23} \)
\( \Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt {23} ;0} \right);\,\,{F_2}\left( {\sqrt {23} ;0} \right)\)
* Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{{x_M^2}}{{25}} + \dfrac{{y_M^2}}{2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M} = \left( {{x_M} + \sqrt {23} ;{y_M}} \right)\\\overrightarrow {{F_2}M} = \left( {{x_M} - \sqrt {23} ;{y_M}} \right)\end{array} \right.;\,\,\overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M} = 0 \Leftrightarrow x_M^2 + y_M^2 = 23\,\,\left( 2 \right)\)
* Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_M^2 = \dfrac{{525}}{{23}}\\y_M^2 = \dfrac{4}{{23}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {\dfrac{{523}}{{23}}} \\y = \sqrt {\dfrac{4}{{23}}} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\sqrt {\dfrac{{523}}{{23}}} ;\sqrt {\dfrac{4}{{23}}} } \right)\).
Chọn A.
Câu hỏi 19 :
Cho \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm \(M\) có tọa độ dương thuộc \(\left( E \right)\) để \(M{F_1} = 2M{F_2}\).
- A \(\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4};\dfrac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\)
- B \(\left( {\dfrac{3}{{14}};\dfrac{1}{{14}}} \right)\)
- C \(\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4};\dfrac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\)
- D \(\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\)
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
* Ta có \(a = 3,\,\,b = 1 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 8 \Rightarrow c = \sqrt 8 \Rightarrow e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 8 }}{3}\).
* Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{{x_M^2}}{9} + \dfrac{{y_M^2}}{1} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\).
* \(M{F_1} = 2M{F_2} \Leftrightarrow a + e{x_M} = 2\left( {a - e{x_M}} \right) \Rightarrow 3e{x_M} = a\)
\( \Rightarrow {x_M} = \dfrac{e}{{3a}} = \dfrac{3}{{3.\dfrac{{\sqrt 8 }}{3}}} = \dfrac{3}{{\sqrt 8 }}\,\,\left( 2 \right)\)
* Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4};\dfrac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\).
Chọn A.
Câu hỏi 20 :
Cho \(\left( d \right):\,x - 2y - 2 = 0\) và \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\). \(\left( d \right)\) cắt \(\left( E \right)\) tại \(A,\,\,B\) với \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Tính \(P = {x_A} + {x_B} + {y_A} + {y_B}\).
- A \(0\)
- B \( - 1\)
- C \(2\)
- D \(3\)
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
* Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( d \right)\\\left( E \right)\end{array} \right.\). Từ \(\left( d \right) \Rightarrow x = 2y + 2\,\,\left( * \right)\). Thay vào \(\left( E \right)\) ta có:
\(5{x^2} + 4{y^2} = 20 \Rightarrow 5{\left( {2y + 2} \right)^2} + 4{y^2} = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)
* \(\left[ \begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A\left( {2;0} \right)\\y = - \dfrac{5}{3} \Rightarrow x = - \dfrac{4}{3} \Rightarrow B\left( { - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P = - 1\)
Chọn B.
Câu hỏi 21 :
Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 8 và \(e = {{\sqrt {12} } \over 4}\) là:
- A \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 3} = 1\)
- B \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
- C \({{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
- D \({{{x^2}} \over 3} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\). Tìm \(a,b\).
Hình chữ nhật cơ sở của elip có chiều dài bằng \(2a\) và chiều rộng bằng \(2b\) Elip có \(e = {c \over a}\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)Lời giải chi tiết:
Phương trình elip cần tìm có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \(4ab\).
Theo bài ra ta có \(4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4\)
Elip có \(e = {{\sqrt {12} } \over 4}\) suy ra \({c \over a} = {{\sqrt {12} } \over 4}\). Vì \(c,a > 0\) nên ta có \({{{c^2}} \over {{a^2}}} = {{12} \over {16}} = {3 \over 4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0\)
Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr 3{a^2} - 4{c^2} = 0 \hfill \cr {a^2} - {b^2} = {c^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr {a^2} - {b^2} = {3 \over 4}{a^2} \hfill \cr 3{a^2} = 4{c^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr {a^2} - 4{b^2} = 0 \hfill \cr 3{a^2} = 4{c^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = 4 \hfill \cr {b^2} = 1 \hfill \cr {c^2} = 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\).
Đáp án: B
Câu hỏi 22 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A(3\cos \alpha ;0),B(0;2\sin \alpha )\) với \(\alpha \) thay đổi. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn \(2\overrightarrow {AM} + 5\overrightarrow {MB} = \vec 0\) là:
- A Một elip có phương trình \({{{x^2}} \over 4} + {{9{y^2}} \over {100}} = 1\).
- B Một elip có phương trình \({{9{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\).
- C Một hypebol có phương trình \({{{x^2}} \over 4} - {{9{y^2}} \over {100}} = 1\).
- D Một hypebol có phương trình \({{{x^2}} \over 4} + {{9{y^2}} \over {100}} = - 1\).
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Biến đổi tương đương biểu thức \(2\overrightarrow {AM} + 5\overrightarrow {MB} = \vec 0\), sau đó làm mất tham số \(\alpha \).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = \left( {{x_0} - 3\cos \alpha ;{y_0}} \right) \cr & \overrightarrow {MB} = \left( { - {x_0};2\sin \alpha - {y_0}} \right) \cr} \)
Suy ra \(2\overrightarrow {AM} + 5\overrightarrow {MB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2\left( {{x_0} - 3\cos \alpha } \right) - 5{x_0} = 0 \hfill \cr 2{y_0} + 5\left( {2\sin \alpha - {y_0}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{x_0} - 6\cos \alpha = 0 \hfill \cr 10\sin \alpha - 3{y_0} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \cos \alpha = - {1 \over 2}{x_0} \hfill \cr \sin \alpha = {3 \over {10}}{y_0} \hfill \cr} \right.\)
Mặt khác ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\) nên ta có: \({{x_0^2} \over 4} + {{9y_0^2} \over {100}} = 1\)
Đáp án: A.
Câu hỏi 23 :
Cho Elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) , có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
- A \(A\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\).
- B \(A\left( {\sqrt 2 ;{1 \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {1 \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - {1 \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{1 \over 2}} \right)\).
- C \(A\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\).
- D \(A\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\).
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Xác định mối quan hệ giữa A và B để tam giác OAB cân tại O.
Gọi điểm \(A({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right)\)
Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) tọa độ điểm H.
\({S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}OH.AB\), sử dụng BĐT Cô si cho hai số không âm: \(\sqrt {ab} \le {{{a^2} + {b^2}} \over 2}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).
Lời giải chi tiết:
Tam giác OAB cân tại O, A và B thuộc (E) , có hoành độ dương, suy ra: A đối xứng với B qua Ox.
Gọi \(A({x_0};{y_0}) \Rightarrow B({x_0}; - {y_0});{\rm{ (}}{{\rm{x}}_0} > 0)\).
\(A \in (E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {{{y_0}^2} \over 1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = {{\sqrt {4 - {x_0}^2} } \over 2}\)
Ta có \(AB = 2\left| {{y_0}} \right| = \sqrt {4 - {x_0}^2} \)
Gọi H là trung điểm AB thì \(H\left( {{x_0};0} \right)\)
\( \Rightarrow OH = {x_0} \Rightarrow {S_{OAB}} = {1 \over 2}.OH.AB = {1 \over 2}{x_0}.\sqrt {4 - {x_0}^2} = {1 \over 2}\sqrt {{x_0}^2(4 - {x_0}^2)} \le {1 \over 2}.{{{x_0}^2 + 4 - {x_0}^2} \over 2} = 1\).
Đẳng thức xảy ra khi \(x_0^2 = 4 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\).
Vậy \(A\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\).
Chọn: A.
Câu hỏi 24 :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Xét điểm \(M\)chuyển động trên trục \(Ox\) và điểm \(N\) chuyển động trên trục \(Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) luôn tiếp xúc với \(\left( E \right)\). Để đoạn \(MN\) có độ dài nhỏ nhất thì tọa độ điểm \(M\) và \(N\) là:
- A \(M\left( { - 2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\)
- B \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\)
- C \(M\left( { - 2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\, - \sqrt {21} } \right)\)
- D \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\, - \sqrt {21} } \right)\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và đường thẳng \(d:Ax + By + C = 0\).
Điều kiện để đường thẳng \(d\) tiếp xúc với \(\left( E \right)\) là \({A^2}{a^2} + {B^2}{b^2} = {C^2}.\)
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M\) chuyển động trên trục \(Ox\) và điểm \(N\) chuyển động trên trục \(Oy\).
\( \Rightarrow M\left( {m;\,\,0} \right),\,N\left( {0;\,\,n} \right)\) với \(m > 0,\,\,n > 0\).
Phương trình đường thẳng \(MN\): \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\)
Để đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) thì: \({\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} \cdot 16 + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} \cdot 9 = 1\)
Ta có: \(M\left( {m;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - m;\,\,n} \right)\)\( \Rightarrow MN = \sqrt {{m^2} + {n^2}} \)
\( \Rightarrow M{N^2} = {m^2} + {n^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right).1\)\( = \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \cdot \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + \frac{9}{{{n^2}}}} \right)\)\( = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(M{N^2} = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \ge 25 + 2\sqrt {16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} \cdot 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}} = 49\)
\( \Rightarrow M{N^2} \ge 49\)
\( \Rightarrow MN \ge 7\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16{n^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{9{m^2}}}{{{n^2}}}\\{m^2} + {n^2} = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 7 \\n = \sqrt {21} \end{array} \right.\) (thõa mãn điều kiện)
Vậy \(M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\) và \(N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)\) thì \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(7.\)
Chọn B.
Câu hỏi 25 :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) và điểm \(A\left( {3;\,\,0} \right)\). Tìm trên \(\left( E \right)\) các điểm \(B,\,\,C\) sao cho \(B,\,\,C\) đối xứng qua trục \(Ox\) và \(\Delta ABC\) là tam giác đều.
- A \(B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\)
- B \(B\left( {1;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {1;\,\, - \sqrt 3 } \right)\)
- C \(B\left( {\sqrt 3 ;\,\,0} \right),\,\,C\left( { - \sqrt 3 ;\,\,0} \right)\)
- D \(B\left( {0;\,\,3} \right),\,\,C\left( {0;\,\, - 3} \right)\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Gọi \(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)\) với \(\,{y_0} > 0\).
+) Vì \(A\) là một điểm nằm trên trục \(Ox\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
+) Xác định khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).
+) Để \(\Delta ABC\) đều thì \(\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)\) với \(\,{y_0} > 0\).
Vì \(B,\,\,C\) nằm trên elip \(\left( E \right)\) nên ta có: \(\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{3} = 1 \Leftrightarrow x_0^2 + 3y_0^2 = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {{x_0} - {x_0};\, - {y_0} - {y_0}} \right) = \left( {0;\,\, - 2{y_0}} \right)\)
Ta có: \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,B\left( {{x_0};{y_0}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \left( {2{y_0};\,\,0} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) + 0.\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x - {x_0} = 0\)
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(x - {x_0} = 0\)
Vì \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) nên \(A \in Ox\), \(B\) và \(C\) đối xứng qua \(Ox\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).
Để \(\Delta ABC\) là tam giác đều thì \(\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}\)
\( \Rightarrow \tan {60^0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\frac{{2{y_0}}}{2}}} \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{{y_0}}} \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = {y_0}\sqrt 3 \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(x_0^2 + 3.{\left( {\frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow x_0^2 + {\left( {3 - {x_0}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow x_0^2 + 9 - 6{x_0} + x_0^2 = 9\)\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 3\end{array} \right.\)
+) Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = \sqrt 3 \Rightarrow B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\)
+) Với \({x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \)Loại
Vậy \(B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)\).
Chọn A.