Đề kiểm tra học kì 2 Toán 7: Hỏi khi tuổi cha gấp ba lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?

1.(4đ)

a) Tìm x, biết:(dfrac{{x + 2}}{{327}} + dfrac{{x + 3}}{{326}} + dfrac{{x + 4}}{{325}} + dfrac{{x + 5}}{{324}} )(,+ dfrac{{x + 349}}{5} = 0)

b) Tìm các số nguyên x và y biết: .(dfrac{5}{x} + dfrac{y}{4} = dfrac{1}{8}).

2.(3đ)

Cho a, b, c thỏa mãn:

(dfrac{{b – c}}{{(a – b)(a – c)}} + dfrac{{c – a}}{{(b – a)(b – c)}} )(,+ dfrac{{a – b}}{{(c – a)(c – b)}} = 2018)

Tính giá trị của biểu thức (A = dfrac{1}{{a – b}} + dfrac{1}{{b – c}} + dfrac{1}{{c – a}})

3.(4đ)

Cho đa thức: (P(x)=(a + 9){x^3} + (b + 6)x + 2018) (a, b là hằng số)

Biết P(-7) = 4. Tính P(7)

4.(3đ)

Hiện nay tuổi cha bằng 2,2 lần tuổi con. Trước đây 25 năm tuổi con bằng (dfrac{5}{{41}}) tuổi cha. Hỏi khi tuổi cha gấp ba lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?

5.(6đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác BD của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho AB = BE.

a) Chứng minh BC – BA > CD – DA

b) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). So sánh EH và EC.

1.

b)

(eqalign{
& {5 over x} + {y over 4} = {1 over 8} cr
& Leftrightarrow {5 over x} + {{2y} over 8} = {1 over 8} cr
& Leftrightarrow {5 over x} = {{1 – 2y} over 8} cr
& Leftrightarrow x(1 – 2y) = 40 cr} )

( Rightarrow 1 – 2y) là các ước số lẻ của 40 (Rightarrow 1 – 2y in {  pm 1; pm 5} )

2.

3.

a)

Ta có: P(7) = (a + 9).7³ + (b + 6).7 + 2018

          P(-7) = (a + 9).(–7)³ + (b + 6).(–7) + 2018

Do đó: P(7) + P(–7) = 2018 + 2018 = 4036

(Rightarrow) P(7) = 4036 – P(–7) = 4036 – 4 = 4032

b)

– Với x = 2 ta có 2² + 117 = 121 = y²

(Rightarrow) y = 11 (thỏa mãn y là số nguyên tố)

– Với x > 2, do x là số nguyên tố nên x là số lẻ.

Suy ra y² = x² + 117 là số chẵn, y > 2

– Có y là số chẵn, y > 2 mà y là số nguyên tố (Rightarrow) không có giá trị nào của y.

– Vậy x = 2; y = 11.

4. Gọi tuổi cha và tuổi con hiện nay lần lượt là x và y (tuổi)

(x, y (in) Z, x, y > 0)

Tỉ số giữa tuổi cha và tuổi con hiện nay là (dfrac{x}{y} = 2,2 = dfrac{{11}}{5}) và trước đây 25 năm là (dfrac{{x – 25}}{{y – 25}} = dfrac{{41}}{5})

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: (dfrac{x}{{11}} = dfrac{y}{5} = dfrac{{x – y}}{6})

và (dfrac{{x – 25}}{{41}} = dfrac{{y – 25}}{5} = dfrac{{x – y}}{{36}})

( Rightarrow dfrac{x}{{66}} = dfrac{y}{{30}} = dfrac{{x – 25}}{{41}} = dfrac{{y – 25}}{5} )(,= dfrac{{x – y}}{{36}} = k)

( Rightarrow k = dfrac{{x – (x – 25)}}{{66 – 41}} = 1)

Vậy hiện nay tuổi cha là 66, tuổi con là 30.

Vì k = 1 (Rightarrow) x – y = 36. Gọi tuổi cha và con khi tuổi cha gấ 3 lần tuổi con lần lượt là a và b, ta có a – b = x – y. (Hiệu giữa tuổi cha và con không đổi)

( Rightarrow dfrac{a}{3} = dfrac{b}{1} = dfrac{{a – b}}{{3 – 1}} = dfrac{{36}}{2} = 18)

Vậy khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Khi đó con 18 tuổi.

5.

a) Xét  (Delta ABD) và (Delta EBD)

+) AB = BE

+) DB chung

+) (widehat {ABD} = widehat {EBD})  (Vì BD là phân giác)

Suy ra: ({rm{Delta ABD  =  Delta EBD}}) (c.g.c)

– Suy ra DA = DE và DE (bot) BC

Tam giác EDC có: EC > CD – DE = CD – DA

Suy ra BC – BA > CD – DA

Có AH // DE ( Rightarrow widehat {{rm{HAE}}}{rm{  =  }}widehat {{rm{AED}}}) (SLT)

Tam giác ADE cân ( Rightarrow widehat {{rm{DAE}}}{rm{  =  }}widehat {{rm{AED}}})

Suy ra AE là phân giác của (widehat {{text{HAC}}})

Kẻ EF (bot) AC (Rightarrow) (Delta AHE = Delta AFE) (1)

Tam giác EFC vuông tại F (Rightarrow) EC > EF   (2)

Từ (1) và (2) (Rightarrow) EC > HE.